ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
43
H содержит столько же элементов, сколько H.
Определение. Если подгруппа H группы G такова, что
множество смежных классов
G по H конечно, то число этих
смежных классов называется
индексом подгруппы H в группе G
и обозначается
(G:H).
Так как левые смежные классы группы
G по подгруппе H
образуют разбиение этой группы, то из указанной выше теоремы
вытекает следующий важный результат.
Теорема. Порядок конечной группы G равен произведению
порядка любой её подгруппы
H на индекс (G:H) этой подгруппы
в
G.
В частности, порядок любой подгруппы
H группы G и её
индекс в
G делят порядок группы G. Порядок любого элемента
a
∈
G делит порядок группы G.
Результаты относящиеся к подгруппам и порядкам элемен-
тов для циклических групп можно обобщить следующей теоре-
мой
Теорема
1. Каждая подгруппа циклической группы также является
циклической.
2. В конечной циклической группе <a> порядка m элемент
a
K
порождает подгруппу порядка
),( mKНОД
m
.
3. Если d положительный делитель порядка m конечной
циклической группы
<a>, то <a> содержит единственную под-
группу индекса
d. Для любого положительного делителя l числа
m группа
<a> содержит в точности одну подгруппу порядка l.
4. Пусть l положительный делитель порядка конечной цик-
лической группы
<a>. Тогда <a> содержит
ϕ
(l) элементов по-
рядка
l. (Напомним, что
ϕ
(l) – функция Эйлера: число целых чи-
сел
K
lK ≤≤1
, взаимно простых с числом l).
5. Конечная циклическая группа <a> порядка m содержит
ϕ
(m) образующих (т.е. таких элементов a
r
, что <a
r
> = <a>). Об-
разующими являются те и только те степени
a
r
элемента а, для
которых
(r,m)=1 (т.е. r и m взаимно простые числа).
В большинстве числовых систем, используемых в элемен-
44
тарной арифметике, имеются две различные бинарные операции:
сложение и умножение. Примерами могут служить целые, ра-
циональные и действительные числа. Поэтому в абстрактной ал-
гебре были введены алгебраические структуры, которые обла-
дают основными свойствами указанных числовых систем. К та-
ким
алгебраическим структурам относятся кольца и поля.
Кольца. Поля.
Определение. Кольцом R называется множество R с двумя
бинарными операциями, обозначаемыми
+ или
⋅
такими, что:
1.
R – абелева группа относительно операции + (т.е. вы-
полняется коммутативный закон сложения
a+b=b+a)
2.
Операция
⋅
ассоциативна т.е. для любых a, b, c
∈
R
→
(a
⋅
b)
⋅
c = a
⋅
(b
⋅
c)
3.
Выполняются законы дистрибутивности:
∀
a, b, c
∈
R
справедливо
a
⋅
(b + c) = ab + ac; (b + c)
⋅
a = ba + ca.
Здесь операции
+ и
⋅
не обязательно являются обычным
сложением и умножением. Единичный элемент аддитивной
группы кольца
K называется нулем и обозначается 0, а обратный
к элементу
a этой группы обозначают –a. Для кольца выполня-
ются по определению свойства:
a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 для всех a ∈ R
( -a) ⋅ b = a ⋅ ( -b) = -ab для всех a,b ∈ R.
Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет
мультипликативную единицу, т.е. существует такой элемент
e
∈
R, что a
⋅
e = e
⋅
a = a для всех
∀
a
∈
R
Кольцо называется
коммутативным, если операция ⋅
коммутативна
a
⋅
b = b
⋅
a
Кольцо называется
целостным кольцом (или областью
целостности), если оно является коммутативным кольцом с
единицей
e
≠
0, в котором равенство a
⋅
b = 0 влечет за собой a=0
или
b=0.
Кольцо R называется
телом если R
≠
{0} и ненулевые эле-
менты в
R образуют группу относительно операции
⋅
. Другими
словами
тело – это кольцо с единицей, в котором для каждого
элемента
a
≠
0 существует обратный по умножению элемент a
-1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
