Математические основы криптологии. Галуев Г.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

45
такой, что
a
⋅
(a
-1
)=1.
Полем называется тело, операция
⋅
в котором коммутатив-
на, т.е.
a
⋅
b = b
⋅
a
Поскольку основной алгебраической структурой, которая
будет использоваться в дальнейшем, является поле, рассмотрим
более подробно его определения.
Поле есть множество
F на котором заданы две операции,
называемые сложением + и умножением
⋅
, и которое содержит
два выделенных элемента
0 и е, причем 0
≠
е. Поле это абелева
группа по сложению, единичным элементом которой является
0,
а элементы из
F отличные от нуля, образуют абелеву группу по
умножению, единичным элементом которой является
е. Опера-
ции сложения и умножения в поле связаны законом дистрибу-
тивности
a(b+c)=ab+ac. Второй закон дистрибутивности
(b+c)a=ba+ca выполняется автоматически в силу коммутативно-
сти операции умножения. Элемент
0 называется нулевым, а эле-
мент
е – единицей т.е. е=1.
Свойство поля, появляющееся из определения целостности
кольца, т.е. равенство
a
⋅
b=0 влечет a=0 или b=0, выражают сло-
вами «отсутствуют делители нуля». Другими словами в комму-
тативном кольце ненулевой элемент
а называют делителем ну-
ля, если существует другой ненулевой элемент b такой, что
a
⋅
b=0. Если в кольце нет делителей нуля, то оно называется
кольцом без делителей нуля или областью целостности. Ни-
какой делитель нуля не может иметь обратного по умножению
элемента. Поэтому никакое поле и тело не содержат делителей
нуля.
Определение. Подмножество S кольца R называется под-
кольцом этого кольца, если оно замкнуто относительно опера-
ций
+ и
⋅
и образует кольцо относительно этих операций. (Замк-
нутость - это условие когда результат операций
a+b и a
⋅
b над
a,b
∈
S также
∈
S).
Определение. Подмножество J кольца R называется идеа-
лом этого кольца, если оно является подкольцом кольца R и для
всех
a
∈
J и r
∈
R имеет место ar
∈
J, ra
∈
J.
Например.
Пусть R - поле рациональных чисел (вида
46
b
a
, ba, - целые числа, 0
≠
b ). Тогда множество целых чисел Z
(вида
–n,n,0, n – целые числа >0) является его подкольцом, но не
идеалом т.к., например
a=1
∈
Z, r=1/2
∈
R, но a
⋅
r=1
⋅
1/2=1/2
∉
Z.
Так как идеалы являются нормальными (левые смежные
классы совпадают с правыми) подгруппами аддитивной группы
кольца, то каждый идеал
J кольца R определяет некоторое раз-
биение множества
R на смежные классы по аддитивной под-
группе
J, называемые классами вычетов кольца R по модулю
идеала
J. Класс вычетов кольца R по модулю J, содержащий
элемент
a
∈
R обозначают через [a]=a+J, т.к. он состоит из всех
элементов
R вида a+c, где c
∈
J. Элементы a,b
∈
R, принадлежа-
щие одному и тому же классу вычетов по модулю
J (т.е. такие,
что
a -b
∈
J), называют сравнимыми по модулю J и обозначают
a
≡
b(mod J). Для них справедливо:
Если
a≡b(mod J), то a+r≡b+r(mod J), ar≡br(mod J)
ra≡rb(mod J), na≡nb(mod J) ∀ n∈Z, r∈R.
Если кроме того r≡s mod J), то a+r≡b+s(mod J) и ar≡bs(mod
J).
Множество классов вычетов кольца
R по модулю идеала J
образует кольцо относительно операций
+ и
⋅
. Эти операции оп-
ределяются равенствами:
(
a+J)+(b+J)=(a+b)+J(1)
(
a+J)⋅(b+J)=ab+J(2)
Определение. Кольцо классов вычетов кольца R по моду-
лю идеала
J относительно операций (1), (2) называется фактор-
кольцом кольца R по идеалу J и обозначается R/J.
Пример.
Факторкольцо (или кольцо вычетов) Z/(n). Как и в
случае, когда мы рассматривали группы, обозначим класс выче-
тов по модулю
n (n
∈
N) содержащий число a
∈
Z через [a]. Этот
класс может быть записан в виде
a+(n), где (n) идеал, порожден-
ный числом
n. Тогда элементами факторкольца Z/(n) будут
[0]=0+(n), [1]=1+(n), ... , [n -1]=n -1+(n).
Теорема. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел по
главному идеалу, порожденному простым числом
Р, является
полем.

Страницы