Математические основы криптологии. Галуев Г.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

49
Теорема. Если кольцо R
≠
{0} с единицей е и без делителей
нуля имеет положительную характеристику
n, то n – простое
число.
Следствие. Характеристикой конечного поля является
простое число.
Теорема. Пусть R – коммутативное кольцо простой харак-
теристики
p. Тогда
nnn
PPP
baba +=+ )( ;
nnn
PPP
baba −=− )( ;
Rba
∈
∀
,
и Nn
∈
.
Выясним теперь, каким должен быть идеал
М коммутатив-
ного кольца
R с единицей, чтобы фактор -кольцо R/M было по-
лем.
Пусть
R – коммутативное кольцо с единицей. Элемент a
∈
R
называется делителем элемента
b
∈
R, если существует элемент
с
∈
R такой, что ас=b. Делители единицы
(
)
1
a
называются об-
ратимыми элементами a
-1
. Элементы a и b из R называют ас-
социированными, если
∃
обратимый элемент r
∉
R такой, что
a=br. Элемент c
∈
R называется простым элементом кольца R, ес-
ли он не является обратимым элементом и не имеет других де-
лителей, кроме ассоциированных с ним элементов или обрати-
мых элементов. Идеал
p
≠
R кольца R называют простым идеа-
лом, если для a,b
∈
R включение a
⋅
b
∈
P имеет место лишь в том
случае, когда либо
a
∈
P, либо b
∈
P. Идеал M
≠
R кольца R называ-
ется
максимальным идеалом, если
∀
идеала J кольца R вклю-
чение
JM ≤ влечет за собой J=M или J=R. Кольцо R называют
кольцом главных идеалов, если оно является целостным коль-
цом, и каждый идеал
J кольца R является главным, т.е.
∃
эле-
мент
a
∈
R такой, что J=(a)={ra
|
r
∈
R}.
Как уже указывалось на прошлых лекциях, важную роль в
криптографических приложениях играют многочлены и наибо-
лее важные и интересные результаты по ним получены в теории
конечного поля.
Напомним, что
многочленом называется выражение вида
∑
=
=+++=
n
i
i
i
n
n
xaxaxaaxf
0
10
...)(
,
50
где
n – целое неотрицательное число – степень многочле-
на,
a
i
– элементы кольца (коэффициенты многочлена),
x – переменная или неизвестная не принадлежащая кольцу.
Следует отметить, что при обычном определении много-
члена связь между коэффициентами
a
i
и переменной x обычно
не обсуждается. Однако такая связь существует и возможно ее
показать в рамках абстрактной алгебры, давая определение мно-
гочлена как элемента кольца многочленов.
Определение. Кольцо S, образованное многочленами над
кольцом
R, называется кольцом многочленов над R и обознача-
ется
R[x].
Рассмотрим множество
S всех бесконечных последова-
тельностей вида
(a
0
,a
1
,...,a
n
,...), компонентами a
i
которого явля-
ется элементы коммутативного кольца
R с единицей 1, причем
лишь конечное число компонент
a
i
может быть отлично от 0.
Это множество образует коммутативное кольцо с единицей от-
носительно операций
+ и
⋅
. Кольцо R таким образом можно рас-
сматривать как подкольцо кольца
S, а S – как расширение кольца
R. Элементами кольца S являются многочлены ][)( xRxf ∈ , оп-
ределяемые как бесконечные последовательности с конечным
числом ненулевых элементов.
При этом переход от кольца
R к кольцу многочленов S над
R называется кольцевым присоединением элемента x к кольцу
R. Таким образом, отображается связь между элементами кольца
R (коэффициентами многочлена a
i
) и новым элементом x.
В дальнейшем изложении в основном будем иметь дело с
многочленами над полями
F, поэтому для кольца многочленов
над полем
F будем использовать обозначение F[x] или G F[x].
Для кольца многочленов над полем справедливы операции
+,
⋅
, сравнения, деления с остатком, делимость:
Два многочлена
)(xf и )(xg
∈
F[x] над полем F считают-
ся
равными тогда и только тогда, когда
∑
=
=
n
i
i
i
xaxf
0
)(,
∑
=
=
n
i
i
i
xbxg
0
)(, и
ii
ba
=
для ni ≤≤
∀
0 .

Страницы