Математические основы криптологии. Галуев Г.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

55
все другие элементы поля
F
p
в силу замкнутости поля К по сло-
жению. Следовательно, поле
F
p
не имеет собственных подполей,
отсюда следующее определение: поле, не содержащее собствен-
ных подполей называется
простым полем. Любое конечное по-
ле
F
p
порядка Р при простом Р есть простое поле.
Определение. Пусть К - подполе поля F и М – любое под-
множество поля
F. Тогда поле К(М) определим как пересечение
всех подполей поля
F, содержащих одновременно К и М: оно
называется
расширением поля К, полученным присоединением
элементов множества
М. В случае конечного множества
М={
θ
1,...,
θ
n
} будем писать К(М)=К(
θ
1,...,
θ
n
). Если М состоит из од-
ного элемента
θ∈
F, то поле L=K(
θ
) называют простым расши-
рением поля К, а элемент
θ∈
F - образующим элементом про-
стого расширения
L поля К.
Определение. Пусть К – некоторое подполе поля F и
θ∈
F.
Если
θ
удовлетворяет нетривиальному полиномиальному урав-
нению с коэффициентами из поля
К, т.е. если a
n
θ
n
+...+a
1
θ
+a
0
=0,
где элементы
a
i
лежат в К и не равны нулю одновременно, то
элемент
θ
называется алгебраическим над К. Расширение L по-
ля
К называется алгебраическим расширением поля К, если ка-
ждый элемент поля
L является алгебраическим над К.
Одним из наиболее фундаментальных результатов, отно-
сящимся к понятию расширения полей является
теорема Кро-
нежра:
Пусть многочлен f(x)
∈
K[x]неприводим над полем К. То-
гда существует простое алгебраическое расширение поля
К, об-
разующим элементом которого является некоторый корень
f(x).
Эта теорема гарантирует для любого неприводимого над
полем
F существование такого расширения поля F, в котором
этот многочлен имеет корень.
Рассмотрим теперь вопросы строения конечных полей,
опишем их основные свойства и методы построения.
56
6. Элементы теории конечного поля. Строение
конечных полей. Основные свойства и методы
построения конечных полей.
Из предыдущих лекций вспомним, что для каждого про-
стого числа
Р фактор кольцо Z/(р) является конечным полем, со-
стоящим из
Р элементов, которое отождествляют с конечным
полем Галуа
F
р
или GF(p) порядка р. Эти поля играют важную
роль в теории полей, так как каждое поле характеристики
р
должно содержать изоморфное
F
р
подполе и потому может рас-
сматриваться как расширение поля
F
р.
Рассмотрим вопрос о числе элементов конечного поля.
Лемма 1. Пусть F - конечное поле, содержащее подполе К
из
q элементов. Тогда F
состоит из q
m
элементов, где m=[F:K].
Здесь
[F:K] обозначает степень поля F над К, т.е. размер-
ность пространства
F над К. Если рассматривать F как вектор-
ное пространство над полем
К.
Теорема. Пусть F - конечное поле. Тогда оно состоит из р
n
элементов, где
р простое число, являющееся характеристикой
поля
F, а n - натуральное число, являющееся степенью поля F
над его простым подполем.
Доказательство этой теоремы достаточно простое и при-
водится, чтобы вспомнить материал прошлой лекции. Так как
поле
F конечно, то его характеристика есть некоторое простое
число
р. Поэтому простое подполе К поля F изоморфно F
р
и
значит содержит
р элементов и, следовательно, согласно лемме
1, поле
F содержит р
n
элементов.
Лемма 2. Если F - конечное поле из q элементов, то каж-
дый элемент
а
∈
F удовлетворяет равенству а
q
=а.
Лемма 3. Если F - конечное поле из q элементов и К - под-
поле поля
F, то многочлен x
q
-x из К[х] вполне разлагается в
F[х] следующим образом
x
q
-x=
Π
(х -а), а
∈
F,
так что F является полем разложения многочлена x
q
-x
над полем
К.
На основе представленных лемм можно сформировать

Страницы