Математические основы криптологии. Галуев Г.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

57
главную характеризационную теорему конечных полей.
Теорема о существовании и единственности конечных
полей. Для каждого простого числа р и каждого натурального
числа
n существует конечное поле из р
n
элементов. Любое ко-
нечное поле из
q=р
n
элементов изоморфно полю разложения x
q
-
x над полем F
p
.
Эта теорема позволяет ввести в рассмотрение т.е. постро-
ить конкретное конечное поле Галуа порядка
q, содержащее q
элементов, где
q - это степень простого числа р, которое являет-
ся характеристикой этого поля. Поля этого типа обозначают
F
q
или
GF(q).
Для конечного поля
F(q) будем обозначать через F
*
(q)
мультипликативную группу его ненулевых элементов. Тогда
следующая теорема устанавливает важное свойство такой груп-
пы.
Теорема. Мультипликативная группа F
*
(q) ненулевых эле-
ментов произвольного конечного поля
F
q
является циклической,
с образующим элементом
b
∈
F
q.
Определение. Образующий элемент b
∈
F
q
циклической
группы
F
*
q
называется примитивным элементом поля F
q.
Теорема. Пусть F
q
– конечное поле и F
r
его конечное рас-
ширение. Тогда
F
r
является простым алгебраическим расшире-
нием поля
F
q
, причем образующим элементом этого простого
расширения может служить любой примитивный элемент поля
F
r
.
Отсюда имеет место важное
следствие: Для каждого ко-
нечного поля
F
q
и каждого натурального числа n в кольце F
q
[x]
существует неприводимый многочлен f(x) степени n.
Рассмотрим теперь вопрос о множестве корней неприво-
димого
многочлена над конечным полем. На этот важный во-
прос дают ответ следующие теоремы конечного поля.
Лемма. Пусть f
(x)
∈
F
q
[x] - неприводимый многочлен сте-
пени
m над F
q.
Тогда f
(x)
делит многочлен
n
q
a -x тогда и только
тогда, когда число
m делит n (т.е. m/n).
Теорема Галуа. Если f
(x)
∈
F
q
[x] неприводимый многочлен
степени
m, то в поле F
q
m
содержится любой корень, а многочле-
58
на
f(x). Более того, все корни многочлена f(x) просты (напом-
ним, что корень простой, если его кратность
к=1) и ими являют-
ся m различных элементов
a ,
q
a ,
2
q
a ,...,
1−m
q
a поля F
q
m
.
Из этой теоремы следуют следующие факты:
1.
Неприводимый многочлен f
(x)
∈
F
q
[x] над полем F
q
m
вполне разлагается в этом поле, т.е. (см. лемму 3). Поле
F
q
m
яв-
ляется полем разложения над полем
F
q
.
2.
Поля разложения любых двух неприводимых много-
членов одной и той же степени из кольца
F
q
[x] изоморфны.
3.
Каждое конечное расширение F
q
m
конечного поля F
q
является
нормальным расширением, т.е. оно обладает тем свой-
ством, что каждый неприводимый многочлен из
F
q
[x], имеющий
хотя бы один корень в поле
F
q
m,
разлагается в этом поле на ли-
нейные сомножители.
4.
Любое конечное поле является совершенным полем,
т.е. обладает следующим свойством: каждый неприводимый
многочлен над этим полем имеет лишь простые корни.
Определим теперь ряд понятий, которые потребуются для
дальнейшего изучения основных элементов теории конечного
поля.
Определение. Пусть F
q
m
расширение поля F
q
, и пусть
а
∈
F
q
m
. Тогда элементы
a
,
q
a ,
2
q
a ,...,
1−m
q
a называются сопря-
женными с элементом a относительно F
q
.
Пусть
К=F
q,
F
q
= F
q
m
(т.е конечное расширение F конечно-
го поля
K это векторное пространство над K). Тогда размерность
F над K равна m, и если {a
1
, ..., a
m
} базис пространства F над
полем
K или базис поля F над K, то каждый элемент a
∈
F одно-
значно представим в виде линейной комбинации
a=c
1
a
1
+...+ c
m
a
m
, c
j
∈
K, mj
≤
≤
1 .
Тогда можно ввести важную функция из F в K, которая
также является линейной.
Определение. Пусть K=F
q
, F=F
q
m
и a
∈
F. Тогда определим
след )(
/
aT
KF
r
элемента a над равенством
12
/
...)(
−
++++=
m
KF
qqq
r
aaaaaT
.

Страницы