Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

||a
−1
||c < 1 F
a
E
1
, E
2
a : E
1
→ E
2
S
r
r
E
1
f : S
r
→ E
2
c
a(x) = f(x). (2).
x
0
S
r
x ∈ S
r
||f(x)|| ≤ ||f(x
0
)|| + ||f(x) − f(x
0
)|| ≤ ||f(x
0
)|| + c · 2r,
f S
r
M
||f(x)|| ≤ M
f E
1
ˆ
f(x) =
½
||x||
r
f(
rx
||x||
), x 6= 0,
0, x = 0.
ˆ
f
c
1
=
M
r
+ 2c
x, y E
1
||
ˆ
f(x) −
ˆ
f(y)|| =
1
r
|| ||x||f(
rx
||x||
) − ||y||f(
ry
||y||
) || ≤
≤
1
r
||( ||x|| − ||y||)f(
rx
||x||
) || +
1
r
||y|| ||f(
rx
||x||
) − f(
ry
||y||
)|| ≤
≤
M
r
| ||x|| − ||y|| | +
||y||
r
c ||
rx
||x||
−
ry
||y||
|| ≤
M
r
||x − y|| + ||y|| c ||
x
||x||
−
y
||y||
||.
||
x
||x||
−
y
||y||
|| ≤
1
||x|| ||y||
|| ||y|| x − ||x|| y || =
=
1
||x|| ||y||
|| (||y|| − ||x||) x + ||x||(x − y)|| ≤
2
||y||
||x − y||,
||
ˆ
f(x) −
ˆ
f(y)|| ≤ (
M
r
+ 2c)||x − y||.
ˆ
f
��� ��� �� ������� ������� ||a−1 ||c < 1� �� ������������ ����������� F ���
������ ���������� ������ �������������� ������� �������� �� ���������
� � ������� ��
   �������� ������������ � ������� ����� a �������� �������� ����������
��� ����������� �������� � ������ �����

���      ��������� � ���������� ������������� ����������� ��
        ������
����� E1 , E2 � ��� ��������� ������������� a : E1 → E2 � �����������
�������� ������������ ��������� ����� Sr � ����� ������� r � ������� �
���� ������������ E1 � f : Sr → E2 � ��������� ����������� ����������� �
���������� ������� c� ��� ����� ������������ ������������ ����������
����������
                                a(x) = f (x).                       (2).
����� x0 � ������������ ����� ����� Sr � ����� ��� ����� ����� x ∈ Sr
����������� �����������
                ||f (x)|| ≤ ||f (x0 )|| + ||f (x) − f (x0 )|| ≤ ||f (x0 )|| + c · 2r,
���� f �������� ������������ ������������ �� Sr � ����� M � ���������
������������� ����� ������ ��� ||f (x)|| ≤ M �
   ��������� ����������� f �� ��� ������������ E1 �� ���������� ����
�����                       � ||x|| rx
                     ˆ          r
                                   f ( ||x|| ), ���� x �= 0,
                    f (x) =
                                            0, ���� x = 0.
����� �� ����������� fˆ �������� ���������� ������������ � ����
������� ������� c1 = Mr + 2c�
   ��������������� ����� x, y ������������ ����� �� E1 � �� ������ �����
�����
                                            1             rx                  ry
                ||fˆ(x) − fˆ(y)|| = || ||x||f (                ) − ||y||f (        ) || ≤
                                            r            ||x||               ||y||
              1                            rx          1              rx              ry
           ≤ ||( ||x|| − ||y||)f (              ) || + ||y|| ||f (         ) − f(          )|| ≤
              r                           ||x||        r             ||x||           ||y||
   M                       ||y||        rx         ry         M                                x     y
≤    | ||x|| − ||y|| | +          c ||        −        || ≤       ||x − y|| + ||y|| c ||          −      ||.
   r                         r         ||x|| ||y||             r                             ||x|| ||y||
��� ���
                        x         y                1
                   ||        −         || ≤               || ||y|| x − ||x|| y || =
                      ||x|| ||y||             ||x|| ||y||
                    1                                                           2
            =              || (||y|| − ||x||) x + ||x||(x − y)|| ≤                  ||x − y||,
              ||x|| ||y||                                                     ||y||
��
                                                       M
                            ||fˆ(x) − fˆ(y)|| ≤ ( + 2c)||x − y||.
                                                        r
�������� ����������� ������������ ����������� fˆ � ������� ���� ���� ��
����� �������� �������� ��� � ���������� ������

                                                    ��

Страницы