Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

= inf
α
1
∈R
1
max{|b − a + α
1
|, |α
1
|} =
b − a
2
.
||y
0
||
C
= 1
b − a
2
||y
0
||
C
= inf
α∈E
n
{||x||
C
| x ∈ d
−1
(y
0
)}.
||d
−1
|| =
b−a
2
L
1
[a,b]
[a, b] n
E
n
C
[a,b]
[a, b] E
n
d : D(d) ⊂ C
[a,b]
→ L
1
[a,b]
D(d)
d
||d
−1
||
||d
−1
|| =
1
2
y = y(t) ∈ L
1
[a,b]
||y||
L
1
=
b
R
a
||y(s)||ds
c a b
c
Z
a
||y(s)||ds =
b
Z
c
||y(s)||ds =
1
2
||y||
L
1
.
d
−1
(y) = {x = x(t) ∈ C
[a,b]
| x(t) = α +
t
Z
a
y(s)ds, α ∈ E
n
}.
inf
α∈E
n
{||x||
C
| x ∈ d
−1
(y)} = inf
α∈E
n
||α +
t
Z
a
y(s)ds||
C
≤
≤ ||
t
Z
a
y(s)ds −
c
Z
a
y(s)ds||
C
||
t
Z
c
y(s)ds||
C
≤ max
a≤t≤b
|
t
Z
c
||y(s)||ds| =
1
2
||y||
L
1
.
||d
−1
|| ≤
1
2
||d
−1
|| =
1
2
y
0
(t) =
(1, 0, ..., 0) t ∈ [a, b]
d
−1
(y
0
) = {x = x(t) ∈ C
[a,b]
| x(t) = (α
1
+ t − a, α
2
, ..., α
n
), α
i
∈ R}.
inf
α∈E
n
||x||
C
= inf
α∈E
n
max
a≤t≤b
v
u
u
t
(α
1
+ t − a)
2
+
n
X
i=2
α
2
i
= inf
α
1
∈R
1
max
a≤t≤b
|α
1
+ t − a| =
                                                                                     b−a
                             = inf 1 max{|b − a + α1 |, |α1 |} =                         .
                                   α1 ∈R                                              2
� ������ �������� ||y0 ||C = 1� ��������������
                                 b−a
                                     ||y0 ||C = infn {||x||C | x ∈ d−1 (y0 )}.
                                  2            α∈E

����� �������� ||d−1 || = b−a 2
                                � ����������� ���������
   ������ �� ����� L[a,b] � ������������ ����������� ���������������
                           1

������������ �� ������� [a, b] �� ���������� � ���������� n������� ����
��������� E n � ����� C[a,b] � ������������ ����������� ��������������� �����
�������� �� ������� [a, b] ����� �� ���������� � E n � ���������� ��������
����������������� d : D(d) ⊂ C[a,b] → L1[a,b] � ��� D(d) � ��������� �����
����� ����������� ��������������� ��������� ��� �������� d ��������
��������� ������������ ����������� �������� ��� ���� ����� ||d−1 ||�
   ����������� ������� ||d−1 || = 12 �
                                                       �b
   ��������������� ����� y = y(t) ∈ L1[a,b] � ||y||L1 = ||y(s)||ds� ����� �����
                                                                                         a
������ ����� ����� c� ������� ����� a � b� ���
                                  �c                  �b
                                                                       1
                                       ||y(s)||ds =        ||y(s)||ds = ||y||L1 .
                                                                       2
                                  a                    c

  ����������
                                                                           �t
                −1
               d (y) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = α +                          y(s)ds, α ∈ E n }.
                                                                           a

�����
                                                                                �t
                     inf {||x||C | x ∈ d−1 (y)} = infn ||α +                         y(s)ds||C ≤
                     α∈E n                                      α∈E
                                                                                a

          �t                 �c                  �t                                 �t
                                                                                                          1
  ≤ ||         y(s)ds −           y(s)ds||C ||        y(s)ds||C ≤ max |                      ||y(s)||ds| = ||y||L1 .
                                                                        a≤t≤b                             2
          a                  a                   c                                   c

�������������� ||d || ≤ 12 � −1

  �������� ��� ||d−1 || = 12 �    ��� ����� ���������� �������������� y0 (t) =
(1, 0, ..., 0) ��� ������ t ∈ [a, b]� �����
         d−1 (y0 ) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = (α1 + t − a, α2 , ..., αn ), αi ∈ R}.
��������������
                                     �
                                     �               n
                                     �               �
  inf ||x||C = infn                  �            2
                                  max (α1 + t − a) +   αi2 = inf 1 max |α1 + t − a| =
 α∈E n               α∈E         a≤t≤b                                              α1 ∈R       a≤t≤b
                                                                  i=2


                                                           ��

Страницы