Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

||a
−1
1
|| = sup
y∈E
2
||a
−1
1
(y)||
||y||
= sup
y∈E
2
(
inf{||x|| | x ∈ E
1
, a(x) = y}
||y||
).
||a
−1
1
|| = β(a)
β(a)
a
−1
||a
−1
||
C
[a,b]
[a, b] n
E
n
d : D(d) ⊂ C
[a,b]
→
C
[a,b]
D(d)
d
||d
−1
||
||d
−1
|| =
b−a
2
y = y(t) ∈ C
[a,b]
||y||
C
= max
s∈[a,b]
||y(s)||
d
−1
(y) = {x = x(t) ∈ C
[a,b]
| x(t) = α +
t
Z
a
y(s)ds, α ∈ E
n
}.
inf
α∈E
n
{||x||
C
| x ∈ d
−1
(y)} = inf
α∈E
n
||α +
t
Z
a
y(s)ds||
C
≤
≤ ||
t
Z
a
y(s)ds −
a+b
2
Z
a
y(s)ds||
C
= ||
t
Z
a+b
2
y(s)ds||
C
≤
≤ max
a≤t≤b
|
t
Z
a+b
2
||y(s)||ds| =
b − a
2
||y||
C
.
||d
−1
|| ≤
b−a
2
||d
−1
|| =
b−a
2
y
0
(t) =
(1, 0, ..., 0) t ∈ [a, b]
d
−1
(y
0
) = {x = x(t) ∈ C
[a,b]
| x(t) = (α
1
+ t − a, α
2
, ..., α
n
), α
i
∈ R}.
inf
α∈E
n
||x||
C
= inf
α∈E
n
max
a≤t≤b
v
u
u
t
(α
1
+ t − a)
2
+
n
X
i=2
α
2
i
= inf
α
1
∈R
1
max
a≤t≤b
|α
1
+ t − a| =
�� ����������� ����� ��������� ��������� ������
                                   ||a−1
                                      1 (y)||         inf{||x|| | x ∈ E1 , a(x) = y}
             ||a−1
                1 || = sup                    = sup (                                ).
                            y∈E2      ||y||     y∈E2                ||y||

             1 || = β(a)�
��������� ||a−1
  ����������� �� ����� β(a) ����� �������� ������ ������������� �����
������� a−1 � ���������� ||a−1 ||�
   ���������� ��������� ������� ���������� ����� ������������� ������
���� ������������
   ������ �� ����� C[a,b] � ������������ ����������� ���������������
������������ �� ������� [a, b] �� ���������� � ���������� n������� ����
��������� E n � ���������� �������� ����������������� d : D(d) ⊂ C[a,b] →
C[a,b] � ��� D(d) � ��������� ���������� ���������������� ���������������
��������� ��� �������� d �������� ��������� ������������ �����������
�������� ��� ���� ||d−1 ||�
   ����������� ������� ||d−1 || = b−a  2
                                          �
   ��������������� ����� y = y(t) ∈ C[a,b] � ||y||C = max ||y(s)||�
                                                                                s∈[a,b]
  ����������
                                                                     �t
               −1
             d (y) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = α +                      y(s)ds, α ∈ E n }.
                                                                      a

�����
                                                                          �t
                    inf {||x||C | x ∈ d−1 (y)} = infn ||α +                    y(s)ds||C ≤
                    α∈E n                                  α∈E
                                                                          a
                                             a+b
                             �t              �2                      �t
                      ≤ ||        y(s)ds −         y(s)ds||C = ||         y(s)ds||C ≤
                             a               a                      a+b
                                                                     2

                                           �t
                                                                   b−a
                                 ≤ max |         ||y(s)||ds| =         ||y||C .
                                   a≤t≤b                            2
                                           a+b
                                            2


�������������� ||d−1 || ≤ b−a 2
                                �
    �������� ��� ||d || = 2 � ��� ����� ���������� �������������� y0 (t) =
                       −1     b−a

(1, 0, ..., 0) ��� ������ t ∈ [a, b]� �����

         d−1 (y0 ) = {x = x(t) ∈ C[a,b] | x(t) = (α1 + t − a, α2 , ..., αn ), αi ∈ R}.

��������������
                                �
                                �               n
                                �               �
  inf ||x||C = infn             �            2
                             max (α1 + t − a) +   αi2 = inf 1 max |α1 + t − a| =
 α∈E n              α∈E      a≤t≤b                                            α1 ∈R   a≤t≤b
                                                             i=2



                                                      ��

Страницы