Составители:
Рубрика:
16 Задание 3
Задание 3. Векторная алгебра
Пример выполнения задания 3
Задача. Даны четыре точки A(2, −1, 3), B(4, 5, 0), C(2, 2, −1) и
D(2, 2, 5). Найти
~
AB,
~
AB
,
~
AB ×
~
AC, cos ϕ, где ϕ - угол между векто-
рами
~
AB и
~
AB, направляющий вектор
~
b биссектрисы угла ϕ, площадь
S
∆ABC
треугольника ABC, объем V
ABCD
параллелепипеда ABCD, и вы-
соту h
D
, опущенную из вершины D.
Решение. Найдем векторы
~
AB и
~
AC, а также их длину:
~
AB = 2
~
i + 6
~
j − 3
~
k,
~
AB
=
p
2
2
+ 6
2
+ (−3)
2
= 7,
~
AC = 3
~
j − 4
~
k,
~
AC
=
p
3
2
+ (−4)
2
= 5.
Косинус угла между веторами вычислим с помощью скалярного произ-
ведения:
cos ϕ =
~
AB ·
~
AC
~
AB
·
~
AC
=
6
7
.
Векторы 5
~
AB и 7
~
AC имеют одинаковую длину, поэтому их сумма
~
b на-
правлена по биссектрисе угла ϕ,
~
b = 10
~
i + 51
~
j − 43
~
k.
Площадь треугольника ABC найдем с помощью векторного произведе-
ния:
S
∆ABC
=
1
2
~
AB ×
~
AC
,
~
AB ×
~
AC =
~
i
~
j
~
k
2 6 −3
0 3 −4
= −15
~
i + 8
~
j + 6
~
k,
S
∆ABC
=
1
2
·
√
225 + 64 + 36 =
√
325
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
