Графики элементарных функций. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 §2. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
= f
a
x +
b
a

. ÷ Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y
2
ÄÏÓÔÁ-
ÔÏÞÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ y
3
= f(ax). éÔÁË, ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ
ÆÕÎËÃÉÉ y = cf
a
x +
b
a

+ d ÎÁÄÏ Ó ÇÒÁÆÉËÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ.
1. óÖÁÔØ ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox, ÅÓÌÉ a > 0;
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÒÁÚÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy É ÓÖÁÔØ ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ×ÄÏÌØ
ÏÓÉ Ox, ÅÓÌÉ a < 0.
2. óÄ×ÉÎÕÔØ ÐÏ ÏÓÉ Ox ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ f (ax) ÎÁ
b
a
ÅÄÉÎÉÃ
×ÌÅ×Ï ÐÒÉ
b
a
> 0 É ×ÐÒÁ×Ï ÐÒÉ
b
a
< 0.
3. óÖÁÔØ ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ f
a
x +
b
a

×ÄÏÌØ
ÏÓÉ Oy, ÅÓÌÉ c > 0; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÒÁÚÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox É ÓÖÁÔØ
ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Oy, ÅÓÌÉ c < 0.
4. óÄ×ÉÎÕÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ cf
a
x +
b
a

ÎÁ d ÅÄÉÎÉà ××ÅÒÈ
ÐÒÉ d > 0 É ÎÁ |d| ÅÄÉÎÉà ×ÎÉÚ ÐÒÉ d < 0.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÐÒÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË-
ÃÉÉ y = cf(ax + b) + d ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ × ×ÉÄÅ ÃÅÐÏÞËÉ:
f(x) → f (ax) → f
a
x +
b
a

≡ f(ax + b) → cf(ax + b) → cf(ax + b) + d.
îÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÕÄÏÂÎÅÅ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = cf(ax + b) + d ÎÁÞÉ-
ÎÁÔØ Ó ÎÁÐÉÓÁÎÉÑ ÃÅÐÏÞËÉ:
cf(ax + b) + d ← cf (ax + b) ← f (ax + b) ≡ f
a
x +
b
a

← f(ax) ← f (x).
ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÇÒÁÆÉË ËÁËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÜÔÏÊ ÃÅÐÏÞËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÏ×ÙÍ ÄÌÑ
ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
ðÒÉÍÅÒ 7. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = log
3
(1 − 2x).
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÐÉÛÅÍ ÃÅÐÏÞËÕ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ:
log
3
(1 − 2x) ≡ log
3
−2
x −
1
2

← log
3
(−2x) ← log
3
(2x) ← log
3
x.
éÔÁË, ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÜÓËÉÚÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = log
3
(1 − 2x) ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó
ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ y
1
= log
3
x, ÚÁÔÅÍ ÓÖÁÔÉÑ ÜÔÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ
Ox × Ä×Á ÒÁÚÁ, ÚÁÔÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy É,
ÎÁËÏÎÅÃ, ÓÄ×ÉÇÁ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ ÎÁ
1
2
ÅÄÉÎÉÃÙ ×ÐÒÁ×Ï ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox
(ÓÍ. ÒÉÓÕÎËÉ).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÉÚÂÅÖÁÎÉÑ ÏÛÉÂÏË ÐÒÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÒÁÆÉËÏ×, ÐÏÄÞÅÒË-
ξÍ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÓÄ×ÉÇÁ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ ÞÉÓÌÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ
ÐÒÉÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ x, Á ÎÅ Ë ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ ax. ðÏÜÔÏÍÕ
14                   §2. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

= f a x + ab . ÷ Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y2 ÄÏÓÔÁ-
             
ÔÏÞÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ     y3 = f (ax). éÔÁË, ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ
                         b
                           
ÆÕÎËÃÉÉ y = cf a x + a + d ÎÁÄÏ Ó ÇÒÁÆÉËÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ.
    1. óÖÁÔØ ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox, ÅÓÌÉ a > 0;
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÒÁÚÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy É ÓÖÁÔØ ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ×ÄÏÌØ
ÏÓÉ Ox, ÅÓÌÉ a < 0.
    2. óÄ×ÉÎÕÔØ ÐÏ ÏÓÉ Ox ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ f (ax) ÎÁ ab ÅÄÉÎÉÃ
×ÌÅ×Ï ÐÒÉ ab > 0 É ×ÐÒÁ×Ï ÐÒÉ ab < 0.
    3. óÖÁÔØ ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ f a x + ab ×ÄÏÌØ
                                                                      
ÏÓÉ Oy, ÅÓÌÉ c > 0; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÒÁÚÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox É ÓÖÁÔØ
ÉÌÉ ÒÁÓÔÑÎÕÔØ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Oy, ÅÓÌÉ c < 0.
    4. óÄ×ÉÎÕÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ cf a x + ab ÎÁ d ÅÄÉÎÉà ××ÅÒÈ
                                                           
ÐÒÉ d > 0 É ÎÁ |d| ÅÄÉÎÉà ×ÎÉÚ ÐÒÉ d < 0.
    ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÐÒÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË-
ÃÉÉ y = cf (ax + b) + d ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ × ×ÉÄÅ ÃÅÐÏÞËÉ:
                              
                              b
 f (x) → f (ax) → f a x +          ≡ f (ax + b) → cf (ax + b) → cf (ax + b) + d.
                              a
îÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÕÄÏÂÎÅÅ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = cf (ax + b) + d ÎÁÞÉ-
ÎÁÔØ Ó ÎÁÐÉÓÁÎÉÑ ÃÅÐÏÞËÉ:
                                                     
                                                     b
cf (ax + b) + d ← cf (ax + b) ← f (ax + b) ≡ f a x +      ← f (ax) ← f (x).
                                                     a
ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÇÒÁÆÉË ËÁËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÜÔÏÊ ÃÅÐÏÞËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÏ×ÙÍ ÄÌÑ
ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 7. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = log 3(1 − 2x).
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÐÉÛÅÍ ÃÅÐÏÞËÕ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ:
                               
                               1
    log3(1 − 2x) ≡ log3 −2 x −      ← log3 (−2x) ← log3 (2x) ← log3 x.
                               2
éÔÁË, ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÜÓËÉÚÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = log3 (1 − 2x) ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó
ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ y1 = log3 x, ÚÁÔÅÍ ÓÖÁÔÉÑ ÜÔÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ
Ox × Ä×Á ÒÁÚÁ, ÚÁÔÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy É,
ÎÁËÏÎÅÃ, ÓÄ×ÉÇÁ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ ÎÁ 12 ÅÄÉÎÉÃÙ ×ÐÒÁ×Ï ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox
(ÓÍ. ÒÉÓÕÎËÉ).
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÉÚÂÅÖÁÎÉÑ ÏÛÉÂÏË ÐÒÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÒÁÆÉËÏ×, ÐÏÄÞÅÒË-
ξÍ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÓÄ×ÉÇÁ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ ÞÉÓÌÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ
ÐÒÉÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ x, Á ÎÅ Ë ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ ax. ðÏÜÔÏÍÕ

Страницы