Составители:
Рубрика:
12 13
Замечание 1.9. Каждая ситуация
ni
uuuu ,,,,
1
однозначно
определяет путь в древовидном графе, а следовательно, партию в игре
и выигрыши игроков.
Пример 1.4. Пусть
^`
2,1 N
. Тогда
^`
xuxuu
21
,
, гдеде
l
xxx ,,
0
,
1
nl
Xx
. Перенумеруем позиции, входящие в множе-е-
ства очередностей первого игрока двойным индексом
5,1,.1 ii
, и вто-
рого –
2,1,.2 jj
. Тогда
^`
5.1,,1.1
1
X
,
^`
2.2,1.2
2
X
.
Перенумеруем дуги, выходящие из каждой вершины, одним индек-
сом. Тогда
^ `
5,1,2,1.1
1
iiu
, и
^`
2,1,2,1.2
2
jju
– стратегии,
которые указывают в каждой позиции множества очередностей номер
дуги, по которой следует двигаться дальше.
Очевидно, что стратегии на множестве очередностей
1
X
образуютт
пятимерный вектор:
^`
5,1,.1
11
iiuxu
, а
^`
2,1,.2
22
jjuxu
.
Следовательно, количество стратегий первого игрока
322card
5
1
U
, вто-
рого –
42card
2
2
U
. Множество U состоит из
12
8
43
2
u
ситуаций u.
Пусть
1,1,1,2,2
1
xu
,
1,2
2
xu
. Стратегия
1,1,1,2,2
1
xu
предписывает игроку 1 выбор дуги 2 в вершинах
1.1
и
2.1
и дуги 1 – в
вершинах
5.1,4.1,3.1
соответственно. Для игрока 2 стратегия
2
xu
1,2
предписывает выбор дуги 2 в вершине
1.2
, дуги 1 – в вершине
2.2
.
Пусть
1.1
0
x
. Тогда согласно стратегии
xu
1
первый игрок де-
лает выбор
2
01
xu
, т. е. выбирает вершину
2.2
(рис. 1.5). Второй
игрок в этой вершине выбирает
1
12
xu
. Соответственно следующий
шаг принадлежит первому игроку
1
22
xu
.
Построим путь:
1210
,4.1,2.2,1.1
nl
Xxxxx
. Следо-
вательно,
^`
1,21,2,1,1,1,2,2 o
, т. е.
1,2
21
ll
xHxH
.
Пример 1.5. Имеем двух игроков
^`
2,1 N
,
^`
xuxuu
21
,
,
l
xxx ,,
0
,
^`
8.1,,1.1
1
X
,
^`
7.2,,1.2
2
X
.
Стратегии в каждой позиции множества очередностей:
^ `
,3,2,11.1
1
u
^ `
,3,2,11.2
2
u
^`
,2,12.1
1
u
^ `
,3,2,12.2
2
u
^`
,2,13.1
1
u
^`
,2,13.2
2
u
^ `
,3,2,14.1
1
u
^`
,2,14.2
2
u
^`
,2,15.1
1
u
^`
,2,15.2
2
u
^ `
,3,2,16.1
1
u
^`
,2,16.2
2
u
^`
,2,17.1
1
u
^`
,2,18.1
1
u
^ `
.4,3,2,17.2
2
u
(1.1)
(2.2)
1
2
(1.2) (1.
3
) (1.4) (1.
5
)
1 2 1 2 1 2 1 2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
3
5
(2.1)
12 12
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
4
5
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
10
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
0
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
5
0
Рис. 1.5
Следовательно,
^`
8,1,.1
11
iiuxu
,
^`
7,1,.2
22
jjuxu
,
количество стратегий игрока 1
86432card
35
1
U
, игрока 2
576432card
124
2
U
. Множество U состоит из
66449
7
576864 u
ситуаций u.
Пусть
2,1,3,1,1,1,2,2
1
xu
,
4,2,1,1,1,3,2
2
xu
, где
x
– стра-ра-
тегия, которая реализуется в пути. На рис. 1.6 альтернативы этих страте-
гий выделены пунктиром. Тогда путь будет следующим:
,4.2,2.1,1.1
210
xxx
,8.1
3
x
14
,7.1
nl
Xxx
, отку-у-
да ситуация
^
`
4,3,1,1,1,3,2,2,1,3,1,1,1,2,2
приведет к выигрышу
5,4
21
ll
xHxH
.
Определение 1.30. Пусть ситуации
ni
uuuu ,,,,
1
соответ-
ствует партия
lk
xxx ,,,,
0
. Введем понятие функции выигрыша
i
K
игрока i, значение которой в каждой ситуации u равно значению выигры-
ша
i
H
в окончательной позиции соответствующей партии
lk
xxx ,,,,
0
, т. е.
.,1,...,,...,,
1
nixHuuuK
linii
Функции
niK
i
,1,
, определены на множестве ситуаций
n
i
i
UU
1
.
Определение 1.31. Игрой в нормальной форме G называется
^` ^`
,,,
Ni
i
Ni
i
KUNG
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
