ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
1.1. БЕРЕГОВАЯ ЛИНИЯ НОРВЕГИИ
Сколь велика длина береговой линии Норвегии? Взгляните на рис. 1.1. В масштабе карты хорошо видны глубокие фиорды
на западном побережье. Более мелкие детали очертаний побережья к северо-востоку от южной оконечности различимы ху-
же, но на картах береговая линия выглядит так же, как западное побережье на рис. 1.1. Идя под парусом, вы то и дело встре-
чаете скалы, острова, бухты, обрывы и узкости, которые похожи друг на друга, даже если они не обозначены на подробных
картах. Прежде чем ответить на вопрос, с которого начинается эта глава, необходимо решить, стоит ли включать в берего-
вую линию острова. Как быть с реками? В каком месте фиорд перестает быть фиордом и где именно он переходит в реку?
Ответить на этот вопрос иногда легко, иногда не очень. Но даже если мы сумеем удовлетворительно ответить на все вопросы
такого рода, одна трудность все же остается. Дело в том, что можно придать циркулю раствор, соответствующий δ км, и со-
считать число шагов N(δ), которые понадобились бы, чтобы пройти по карте из конца в конец все побережье. В спешке мож-
но было бы выбрать раствор циркуля настолько большим, что не понадобилось бы заботиться даже о самых глубоких фиор-
дах, и принять за длину береговой линии величину L = N(δ)
δ. Можно было бы выбрать меньший раствор циркуля δ. Тогда в
длину береговой линии вошли бы и наиболее глубокие фиорды, но юго-восточное побережье по-прежнему было бы пройде-
но за несколько шагов. Для еще более точного подсчета длины береговой линии понадобились бы такие карты, которыми
пользуются соседи при решении вопросов о том, где должен проходить забор между земельными участками, или о том, как
далеко по реке простираются границы рыбной ловли. Ясно, что при решении такого рода вопросов уточнения можно вно-
сить бесконечно. Всякий раз, когда будет увеличиваться разрешающая способность, длина береговой линии будет разрас-
таться. Кроме того, при использовании циркуля могут возникнуть проблемы с островами и реками. Альтернативный способ
измерения длины береговой линии состоит в том, чтобы покрыть карту сеткой, как показано в верхней части рис. 1.1. Пусть
квадратные ячейки сетки имеют размеры δ × δ. Число N(δ) таких ячеек, необходимых, чтобы покрыть береговую линию на
карте, приближенно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором δ.
Уменьшение δ приводит к увеличению числа ячеек, необходимых для покрытия береговой линии. Если бы береговая линия
Норвегии имела вполне определенную длину L
N
, то можно было бы ожидать, что число шагов циркуля или число квад-
ратных ячеек N(δ), необходимых для покрытия береговой линии на карте, будет обратно пропорционально δ, а величина L(δ)
= N(δ)
δ при уменьшении δ будет стремиться к постоянной L
N
.
Как видно из рис. 1.2, при уменьшении длины δ шага измеренная длина возрастает. График на этом рисунке выполнен в
дважды логарифмическом масштабе и показывает, что при уменьшении δ измеренная длина береговой линии отнюдь не
стремится к постоянному значению. Наоборот, измеренная длина прекрасно описывается приближенной формулой
L(δ) = Aδ
1 – D
. (1.1)
Для обычной кривой можно было бы ожидать, что A = L
N
(по крайней мере при достаточно малых δ) и показатель D ра-
вен единице. Но для береговой линии Норвегии, как видно из графика, D ≈ 1,52. Береговая линия – фрактал с фрактальной
размерностью D.
На рис. 1.3 воспроизведен график, на котором показана кажущаяся длина береговых линий и сухопутных границ. Все
точки выстраиваются (в дважды логарифмическом масштабе) вдоль прямых.
Угловой коэффициент этих прямых равен 1 – D, где D – фрактальная размерность береговой линии (или сухопутной гра-
ницы). Береговая линия Великобритании имеет D ~ 1,3. Мандельброт приводит также данные для окружности и находит, как и
следовало ожидать, что D
окр
= 1 [4].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
