Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.3. Длина береговых линий как функция выбранного шага δ (км)
1.2. ПАРАДОКС ШВАРЦА С ПЛОЩАДЬЮ
БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Измерение площади – процедура, не всегда легко осуществимая на практике. Рассмотрим боковую поверхность цилин-
дра (радиусом R и высотой Н), изображенную на рис. 1.4. Ее площадь равна А = 2πRH. Но если мы попытаемся измерить
площадь боковой поверхности этого цилиндра на практике с помощью линеек, то придется тем или иным образом триангу-
лировать поверхность, например так, как это показано на рис. 1.4. Разделив поверхность на m полос и N секторов, как пока-
зано на этом рисунке, мы получим оценку площади боковой поверхности цилиндра в виде суммы A
∆
площадей всех малых
треугольников. Разбивая поверхность на все более мелкие треугольники, т.е. устремляя N → ∞ и m → ∞, мы ожидаем, что и
A
∆
→ A. Но подобный прогноз верен не всегда. Площадь всех треугольников можно записать в виде
()
()
.//11
2
sin
2
1
2
cos1
2
sin
2
2
22
2
4
4
24
2
π++π→
→
π
π
π
+
π
+
ππ
π=
∞→
∞→
∆
nmHRRH
n
n
n
m
H
R
nnn
RHA
n
n
(1.2)
Рис. 1.4. Боковая поверхность цилиндра радиусом R и
высотой H равна 2πRH. Поверхность аппроксимируется
с помощью триангуляции, как показано на рисунке
Первые слагаемые здесь соответствуют треугольникам того типа, который на рис. 1.4 обозначен a
1
. Вторые, те, что с
квадратным корнем, соответствуют треугольникам, обозначенным на рис. 1.4 через a
2
. Нетрудно видеть, что если m / N
2
→ 0
при m → ∞ и N → ∞, то суммарная площадь треугольников стремится к ожидаемому пределу. Но если мы воспользуемся
триангуляцией, для которой m = λN
2
, то обнаружим, что A
∆
> A и что в действительности А
∆
может принимать сколь угодно
большие значения. Выбирая m = N
β
, мы получаем A
∆
∼ N
β – 2
при β > 2. Следовательно, когда отдельные треугольники стано-
вятся все меньше и меньше, суммарная площадь треугольников неограниченно возрастает. Вместо того, чтобы улучшаться,
аппроксимация при уменьшении величины треугольников ухудшается. К аналогичным проблемам приводят и многие другие
способы триангуляции. Возникающая ситуация известна под названием парадокса Шварца с площадью боковой поверхности

Страницы