ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
цилиндра. Нетрудно понять, в чем здесь дело. При увеличении отношения m / N
2
аппроксимирующая поверхность, состоя-
щая из треугольников, все сильнее и сильнее складывается в гармошку, и в пределе треугольники типа а
2
практически пер-
пендикулярны поверхности цилиндра.
Можно возразить, что возникшие трудности связаны с плохим выбором триангуляции. Но как следует выбирать «хо-
рошую» триангуляцию, если нужно оценить площадь более сложной или неровной поверхности? Оказывается, что для этого
лучше воспользоваться методами, которые изложены в следующем разделе. Методы, о которых идет речь, применимы и в
более простом случае классических гладких кривых и поверхностей, и в более сложном случае кривых, поверхностей и объ-
емов «монстров».
1.3. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Мандельброт предложил следующее пробное определение фрактала.
Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа – Безиковича которого строго больше его топологической
размерности.
Это определение в свою очередь требует определений терминов множества, размерности Хаусдорфа – Безиковича (D) и
топологической размерности (D
т
), которая всегда равна целому числу. Позже Мандельброт сузил свое предварительное оп-
ределение, предложив заменить его следующим.
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.
Строгого и полного определения фракталов пока не существует. Дело в том, что первое определение при всей правиль-
ности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение
содержит существенный отличительный признак, подчеркиваемый в данном пособии и наблюдаемый в эксперименте [4, 5]:
фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Взять хотя бы некоторые прекрасные кучевые облака.
Они состоят из огромных «горбов», на которых возвышаются «горбы» поменьше, на тех – «горбы» еще меньше и т.д. вплоть
до самого малого масштаба, который вы в состоянии разрешить. На самом деле, располагая только внешним видом облаков
и не используя никакой дополнительной информации, размер облаков оценить невозможно.
Фракталы, о которых пойдет речь далее, можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. На-
пример, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность D
т
= 1 и размерность Хаусдорфа – Безиковича D = 1. Евклидова размерность пространства равна Е = 3. Так как для линии D =
D
т
, линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично
множество точек, образующих поверхность в пространстве с Е = 3, имеет топологическую размерность D
т
= 2 и D = 2. Мы
видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфе-
ра, имеет D = 3 и D
т
= 3. Эти примеры позволяют определить некоторые из рассматриваемых нами типов множеств.
Центральное место в определении размерности Хаусдорфа – Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности D
занимает понятие расстояния между точками в пространстве. Как измерить «величину» множества Y точек в пространстве?
Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространст-
во на небольшие кубы с ребром δ, как показано на рис. 1.5. Вместо кубов можно было бы взять небольшие сферы диаметром
δ. Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии
δ, окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества
точек, мы получаем меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число N(δ) прямолинейных отрезков
длины δ, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Разумеется, для обычной кривой N(δ) = L
0
/ δ. Длина кривой определяет-
ся предельным переходом
(
)
0
0
0
δ→δδ=
→δ
LNL
.
В пределе при δ → 0 мера L становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от δ.
Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например, площадь кривой можно определить, указывая
число кругов или квадратов, необходимых для ее покрытия. Если
N(δ) – число этих квадратов, а δ
2
– площадь каждого из
них, то площадь кривой равна
Рис. 1.5. Измерение «величины» кривой
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
