Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

при условии, что диаметры всех шаров меньше
δ. В этом случае d-мера есть нижняя грань, т.е., грубо говоря, минимальное
значение, получаемое при всех возможных покрытиях.
Знакомыми являются случаи
D = 1 для линий, D = 2 для плоскостей и искривленных гладких поверхностей и D = 3 для
шаров и других тел конечного объема. Как будет показано на многочисленных примерах, существуют множества, для кото-
рых размерность Хаусдорфа – Безиковича не является целой и называется фрактальной.
Определение (1.3) фрактальной размерности может быть использовано на практике. Обратимся снова к береговой ли-
нии, изображенной на рис. 1.1. Она покрыта множеством квадратов со стороной
δ, за единицу длины принята протяженность
обреза карты. Подсчитав число квадратов, необходимых для покрытия береговой линии, получим число
N(δ). Далее можно
поступить так, как подсказывает формула (1.3), и вычислить
М
d
(δ) или продолжить подсчет и найти N(δ) при меньших зна-
чениях
δ. Так как из формулы (1.3) следует, что асимптотически, в пределе при малых δ:
(
)
δ
N ∼
D
δ
1
, (1.4)
можно определить фрактальную размерность береговой линии, измерив угловой коэффициент (наклон) графика ln N (δ) как
функции от ln
δ. Для береговой линии, изображенной на рис. 1.1, такой график построен на рис. 1.7. Как показывают вычис-
ления,
D ≈ 1,5. Размерность D, определяемую по формуле (1.4) путем подсчета числа клеток или ячеек, необходимых для
покрытия множества в зависимости от размера клетки, принято называть размерностью, определяемой по подсчету клеток,
или клеточной размерностью.
Рис. 1.7. Число ячеек размером δ × δ, необходимых для покрытия
береговой линии, изображенной на рис. 1.1 как функция шага δ (км).
Прямая в дважды логарифмических координатах соответствует
зависимости N(δ) = аδ
-D
и построена по результатам измерений.
Фрактальная размерность D ≈ 1,52
1.4. ТРИАДНАЯ КРИВАЯ КОХА
На рис. 1.8 показано, как построить триадную кривую Коха. Триадная кривая Коха – один из стандартных примеров,
приводимых в подтверждение того, что кривая может иметь фрактальную размерность D > 1.
Построение кривой Коха начинается с прямолинейного отрезка единичной длины L(1) = 1. Этот исходный отрезок на-
зывается затравкой и может быть заменен каким-нибудь многоугольником, например равносторонним треугольником, квад-
ратом. Затравка – это 0-е поколение кривой Коха. Построение кривой Коха продолжается: каждое звено затравки мы заменя-
ем образующим элементом, обозначенным на рис. 1.8 через
N = 1. В результате такой замены получается 1-е поколение –
кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3.
Длина всей кривой 1-го поколения составляет величину
L(1/3) = 4/3. Следующее поколение получается при замене каж-
дого прямолинейного звена уменьшенным образующим элементом. В результате получается кривая 2-го поколения, состоя-
щая из
N = 4
2
= 16 звеньев, каждое длиной δ = 3
–2
= 1/9. Длина кривой 2-го поколения равна L(1/9) = (4/3)
2
= 16/9. Заменяя все
звенья предыдущего поколения кривой уменьшенным образующим элементом, получаем новое поколение кривой. Кривая
N-го поколения при любом конечном N называется предфракталом.

Страницы