ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Рис. 1.8. Построение триадной кривой Коха
В виде исключения проследим во всех подробностях за тем, как получается выражение для D. Длина предфрактала N-го
поколения определяется формулой
L(δ)=(4/3)
N
.
Длина каждого звена составляет
δ = 3
-N
.
Замечая, что число поколений N представимо в виде
N = –ln δ / ln 3,
запишем длину предфрактала в виде
() ( )
[]
D
n
L
−
δ=
−δ
−==δ
1
3ln
3ln4lnln
exp3/4 . (1.5)
Формула (1.5) имеет вид приближенной формулы (1.1), в которой
D = ln 4 / ln 3 ~ 1,2628.
Число сегментов равно N(δ) = 4
N
= 4
–ln δ / ln 3
и может быть записано в виде
N(δ) = δ
–D
. (1.6)
Как будет показано дальше, D – фрактальная размерность триадной кривой Коха. Прежде всего заметим, что построе-
ние Коха позволяет в любом поколении получать нормальную кривую конечной длины. Мандельброт называет такие кривые
предфракталами. Но при увеличении числа поколений величина δ стремится к нулю и длина кривой расходится. Ясно, что
множество точек, которое получают как предел бесконечно большого числа итераций процедуры Коха, не является кривой,
для которой длина является удобной мерой. Но если выбрать пробную функцию h(δ) = δ
d
, то получится d-мера
() ()()
dD
d
hNhM δδ=δδ=δ=
−
∑
.
Таким образом, мера М
D
остается конечной и равна единице только в том случае, если размерность D, входящая в проб-
ную функцию h(δ), равна D. Можно заключить, что критическая размерность и, следовательно, размерность Хаусдорфа –
Безиковича для триадной кривой Коха равна D = ln 4 / ln 3. На каждой стадии построения предфракталы Коха могут быть
растянуты в прямую линию, поэтому топологическая размерность триадной кривой Коха равна D
т
= 1. Так как размерность
Хаусдорфа – Безиковича D для кривой Коха больше ее топологической размерности D
т
, можно заключить, что кривая Коха
есть фрактальное множество с фрактальной размерностью D = ln 4 / ln 3.
N = 1
N = 2
N = 3
N = 4
N
= 5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
