ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
(
)
0
0
0
δ→δδ=
→δ
LNA .
Аналогично объем V кривой можно определить как величину
(
)
0
0
0
δ→δδ=
→δ
LNV ,
разумеется, что для обычных кривых A и V обращаются в нуль при δ → 0, и единственной представляющий интерес мерой
является длина кривой.
Рассмотрим далее множество точек, образующих поверхность (рис. 1.6). Нормальной мерой такого множества служит
площадь
A, и мы имеем
(
)
0
0
0
δ→δδ=
→δ
ANS
.
Как нетрудно видеть, для обычной поверхности число квадратов, необходимых для ее покрытия, определяется в преде-
ле при
δ → 0 выражением N(δ) = A
0
/ δ
2
, где A
0
– площадь поверхности.
Поверхности можно поставить в соответствие объем, образуя сумму объемов кубов, необходимых для покрытия по-
верхности
(
)
0
0
0
δ→δδ=
→δ
ANV .
При δ → 0 этот объем, как и следует ожидать, обращается в нуль.
Можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину? Формально мы можем принять за такую длину
величину
(
)
0
0
0
δ→δδ=
→δ
ANL ,
Рис. 1.6. Измерение «величины» поверхности
которая расходится при δ → 0. Этот результат имеет смысл, так как поверхность невозможно покрыть конечным числом
прямолинейных отрезков. Можно заключить, что единственной содержательной мерой множества точек, образующих по-
верхность в трехмерном пространстве, является площадь.
Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут быть закрученными так сильно, что длина их ока-
жется бесконечной, и, действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость. Существуют также по-
верхности, изогнутые столь причудливым образом, что они заполняют пространство. Для того чтобы можно было рассмат-
ривать и такие необычные множества точек, полезно обобщить введенные меры величины множества.
До сих пор, определяя меру величины множества точек
L в пространстве, мы выбирали некоторую пробную функцию
h(δ) = γ(d)δ
d
– отрезок прямой, квадрат, круг, шар или куб – и покрывали множество, образуя меру
(
)
∑
δ= hM
d
. Для прямо-
линейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффициент
γ(d) = 1, для кругов γ = π/4 и для сфер γ = π / 6. Мы за-
ключаем, что в общем случае при
δ → 0 мера М
d
равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора d – размерности
меры. Размерность Хаусдорфа – Безиковича
D множества L есть критическая размерность, при которой мера М
d
изменяет
свое значение с нуля на бесконечность:
() () ()
<∞
>
→δδγ=δγ=
→δ
∑
.при
;при0
0
Dd
Dd
NddM
dd
d
(1.3)
М
d
можно назвать d-мерой множества. Значение М
d
при d = D часто конечно, но может быть равно нулю или бесконеч-
ности; существенно, при каком именно значении
d величина М
d
изменяется скачком. В приведенном выше определении раз-
мерность Хаусдорфа – Безиковича фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует
свойства множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре или размере
δ пробной функции, используемой для по-
крытия множества. Следовательно, фрактальная размерность
D может также быть локальной характеристикой множества. В
действительности здесь существует несколько тонких пунктов, заслуживающих рассмотрения. В частности, определение
размерности Хаусдорфа – Безиковича позволяет покрывать множество «шарами» не обязательно одного и того же размера
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »