Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1.5. ПОДОБИЕ И СКЕЙЛИНГ
Прямая – особое множество точек в пространстве: при любом изменении масштаба мы получим то же самое множество
точек. Кроме того, если произвести над прямой параллельный перенос, снова получится то же самое множество точек. Пря-
мая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба, или скейлинга, – можно сказать, что прямая
самоподобна.
Зададим точки в пространстве их декартовыми координатами х = (x
1
, x
2
, x
3
). Прямая, проходящая через точку x
0
в на-
правлении а = (а
1
, а
2
, а
3
,), есть множество точек L, определяемое соотношением
x = x
0
+ ta, – ∞ < t < + ∞.
Параметр t здесь любое действительное число. Если изменить масштаб длины в одно и то же число раз r для всех ком-
понент радиус-вектора х, точки х отобразятся в новые точки х' = rx = (rх
1
, rх
2
, rх
3
), и мы получим новое множество точек r(L),
определяемое соотношением
x' = r (x
0
+ ta) = x
0
+ t'a – (1 – r) x
0
. (1.7)
Здесь t' = rt снова любое действительное число. Если сдвинуть новое множество точек r(L), подвергнув все его точки
параллельному переносу на величину (1 – r) x
0
, то в результате мы получим исходное множество точек L: прямая инвариант-
на относительно изменения масштаба длины. Прямая инвариантна и относительно параллельного переноса х → х + aN, где N
– любое действительное число.
Как показывают аналогичные соображения, плоскость инвариантна относительно параллельных переносов в любом на-
правлении, лежащем в ней самой, и относительно изменения масштабов длины. Наконец, трехмерное пространство инвари-
антно относительно параллельных переносов в любом направлении и относительно изменения масштабов длины.
Другие множества точек не обладают столь прочными симметриями-инвариантностью относительно параллельных пе-
реносов и скейлинга. Окружность не инвариантна ни относительно параллельного переноса, ни относительно скейлинга, а
инвариантна относительно поворотов вокруг собственного центра. Фракталы также не обладают свойствами некоторых или
даже всех этих простых инвариантностей. Полезно рассмотреть ограниченные множества, такие, как конечный отрезок пря-
мой. Отрезок прямой не обладает трансляционной симметрией – любой сдвиг его всегда порождает новое множество точек.
Но если изменить длины в r раз, где r < 1, то получится новое множество точек L' = r(L), которое составит небольшую часть
прямой. Этим отрезком прямой, подвергнув его параллельному переносу, можно покрыть часть исходного прямолинейного
отрезка L. При надлежащем выборе числа r мы можем однократно покрыть исходный отрезок N непересекающимися отрез-
ками. Можно сказать, что множество L самоподобно с коэффициентом подобия r. Для отрезка прямой единичной длины мы
можем выбрать r(N) = l / N, где N – любое целое число. Прямоугольный участок плоскости можно покрыть его уменьшенны-
ми копиями, если их длины изменить в r(N) = (l / N)
1/2
раз. Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его
уменьшенными копиями, если выбрать r(N) = l / N
1/3
. В общем случае масштабный множитель следует выбирать равным
r(N) = (l / N)
1/d
. (1.8)
Размерность подобия d для прямых, плоскостей и кубов равна соответственно 1, 2 и 3.
Рассмотрим теперь кривую Коха на рис. 1.8. С масштабным множителем r = 1/3 мы получаем первую треть всей кри-
вой. Нам необходимо N = 4 таких фрагментов, чтобы покрыть исходное множество его уменьшенными копиями, подвергая
их повторным параллельным переносам и поворотам. Мы можем также выбрать масштабный множитель r = (1/3)
N
и покрыть
исходное множество его N = 4
N
уменьшенными копиями. Как было показано, для триадной кривой Коха масштабный мно-
житель определяется выражением
r(N) = (l / N)
1/D
(1.9)
с размерностью подобия D
s
, равной размерности Хаусдорфа – Безиковича
D
s
= ln 4 / ln 3.
В общем случае размерность подобия D
s
определяется выражением
D
s
= –ln N / ln r(N). (1.10)
Рис. 1.9. Построение квадратной кривой Коха

Страницы