ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Для самоподобных фракталов размерность Хаусдорфа – Безиковича D равна D
s
, и для таких фракталов мы будем опус-
кать индекс «s» у размерности подобия.
Размерность подобия легко поддается определению для различных фракталов, получающихся с помощью различных
вариантов построения Коха. Рассмотрим предфрактал Коха, построенный с единичным квадратом в качестве затравки и с
образующим элементом, состоящим из N = 8 ломаных длиной r = 1/4, изображенных на рис. 1.9. Эта кривая имеет размер-
ность подобия D = – ln 8 / ln 1/4 = 3/2 и равна размерности Хаусдорфа – Безиковича множества, получающегося после беско-
нечно большого числа итераций. Однако, поскольку в качестве затравки мы используем единичный квадрат, фигура в целом
не выдерживает преобразования подобия. Каждый фрагмент «береговой линии» самоподобен, но, если уменьшить всю кри-
вую в r раз, то получим уменьшенную копию оригинала, и вполне возможно, что оригинал нельзя будет покрыть такими
уменьшенными множествами. Дело в том, что фрактальная скейлинговая инвариантность достигается только в пределе при δ
→ 0, и можно заключить, что фрактальная природа кривых Коха есть, строго говоря, локальное свойство. Замечательная
кривая Коха изображена на рис. 1.10. Эта кривая без самопересечений заполняет прямоугольный равнобедренный треуголь-
ник. Затравкой служит единичный интервал, а образующий элемент, показанный на рис. 1.10, состоит из N = 2 звеньев дли-
ной r = 0,99 ⋅
2/1 . Коэффициент 0,99 выбран для того, чтобы было легче проследить за структурой кривой, так как при r =
2/1
каждое поколение выглядит просто как бумага «в клеточку».
Рис. 1.10. Треугольный невод, D = 1,944. Для нескольких первых поколений ломаных предыдущее поколение
показано штриховыми линиями.
Каждое из поколений изображено в увеличенном виде, чтобы
можно было проследить структуру кривой
Определяемое этим построением фрактальное множество имеет размерность
D = –ln 2 / ln ( 2/99,0 ) = 1,944. Как вид-
но из рис. 1.10, образующий элемент используется в двух вариантах: один сдвигает середину отрезка прямой влево, другой –
вправо. Кроме того, каждое новое поколение предфракталов начинается с чередующихся левых и правых образующих эле-
ментов. На рис.1.10 каждое новое поколение показано в увеличенном виде. Это сделано для того, чтобы прямолинейные от-
резки имели заданную длину и за структурой кривой можно было следить без ухудшения разрешающей способности.
Попытаемся теперь слегка изменить правила построения. Пусть при первом использовании образующего элемента се-
редина образующего отрезка смещается влево. Каждое последующее поколение начинается с образующего элемента, сме-
щенного вправо, а затем смещения середины вправо и влево чередуются. Несколько первых поколений и 11-е поколение
показаны на рис. 1.11. Предельная фрактальная кривая называется драконом Хартера – Хейтуэя.
Если сохранить правила построения треугольного невода, но воспользоваться при этом образующим элементом, изображен-
ным на рис. 1.12, то получится самопересекающаяся кривая, заполняющая плоскость. 10-е поколение показано на рис. 1.12.
Образующий элемент разбивает единичный отрезок на две части, расположенные под прямым углом друг к другу. Длинный
катет изменяется с масштабным множителем
5/2
1
=r , а короткий – с другим масштабным множителем 5/1
2
=r . В этом
случае мы уже не можем при определении размерности подобия использовать формулу (1.10). Мандельброт определил раз-
мерность подобия
D как размерность, для которой выполняется соотношение
1=
∑
i
D
i
r
. (1.11)
В рассматриваемом случае D = 2. Верно также, хотя и не доказано, утверждение о том, что эта размерность совпадает с
размерностью Хаусдорфа – Безиковича данного фрактального множества. Кроме того, при использовании соотношения
(1.11) возникает вопрос о том, как быть с перекрывающимися частями кривой. Впрочем, стоит лишь перейти от простейших
фракталов к чуть более сложным, как возникает множество далеко не простых вопросов.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »