Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.11. К примеру 2
Определение. Пусть заданы два множества произвольной природы P, E. Множество Р будем называть множеством
стратегий первого игрока, а множество
Е – множеством стратегий второго игрока. Пусть на декартовом произведении
E
P
×
задана вещественная функция
K. Тройку T = <P, E, K> будем называть антагонистической игрой в нормальной форме.
В такой игре игроки одновременно выбирают стратегии
EbPa
∈
∈
, . После этого второй игрок получает выигрыш,
равный
K(а, b), а первый игрок – выигрыш, равный K(а, b). Величина
),(supinf baKV
Eb
Pa
∈
∈
=
называется верхним значением, а величина
),(infsup baKV
Pa
Eb
∈
∈
=
–
нижним значением игры T.
Из определения величин
V и V вытекает следующее неравенство: V ≥ V . Действительно, для любых стратегий
EbPa ∈∈ ,
),(),(sup baKbaK
Eb
≥
∈
.
Отсюда заключаем, что
),(infsupinf baKV
Pa
Eb
Pa ∈
∈
∈
≥= .
Поскольку это неравенство справедливо при всех Eb
∈
, то
VbaKV
Pa
Eb
=≥
∈
∈
),(infsup .
Говорят, что игра имеет значение, если выполняется равенство
V
= V . Значение игры обычно обозначают сим-
волом
VValTV === v.
Пример 3. Предположим, что сельскохозяйственное предприятие может посеять одну из трех культур A
1
, A
2
, A
3
.
Урожайность каждой культуры зависит от погодных условий. Необходимо выбрать для посева культуру, которая даст мак-
симальный урожай. Таким образом, с одной стороны, сельскохозяйственное предприятие (назовем его игроком II) заинтере-
совано в том, чтобы выбрать для посева культуру, дающую максимальный урожай, с другой – природа (назовем ее игроком
I) может максимально повредить сельскохозяйственному предприятию, если условия погоды будут неблагоприятны для той
или иной культуры, т.е. природа как бы преследует противоположные интересы.
Будем считать, что погода может быть засушливой, нормальной и дождливой, т.е. игрок I (природа) имеет только три
стратегии. У предприятия также тpи стратегии: посеять культуру A
1
, A
2
или A
3
. Зададим урожайность культур в зависимости
от погодных условий матрицей A = {a
ij
} где a
ij
– урожайность культуры A
i
, при погодных условиях типа i; i, j = 1, 2, 3. Пусть
А имеет вид
=
486
695
1063
А
.
Функция выигрыша K(i, j) имеет вид K(i, j) = a
ij
. Вычислим верхнее и нижнее значения игры:
8maxmin),(maxmin
32
==== aajiKV
ij
j
i
j
i
,
х
2
х
1
0
2 4
6
2
4
6

Страницы