Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
∑
∈
<α
Si
i
Sv .
Функция v супераддитивна, поэтому
∑
∈
+≥+≥
SIi
SiSSII
\
)(v})({v)(v)\(v)(v
.
Обозначим
∑
∈
≥−−=ξ
SIi
iSI
\
0})({v)(v)(v
и составим вектор α :
∈
ξ
+
∈
α−
+α
=α
∑
∈
.\,
|\|
})({v
,,
||
)(v
SIi
SI
i
Si
S
S
Si
i
i
i
Из положительности ξ имеем v≥
α
i
({i}). Непосредственной проверкой получаем, что
∑
∈
≥α
IiS
i
I
,
)(v , поэтому вектор
α
является дележом, более того,
α
> α. Последнее противоречит принадлежности дележа к С-ядру. Следовательно,
∑
∈
≥α
Si
i
S)(v .
Достаточность. Предположим, что условие утверждения выполняется, а
α не принадлежит С-ядру. Тогда сущест-
вуют некоторая коалиция S и дележ
α , такой, что
(
)
ii
Si
i
S α<α≤α
∑
∈
,v
для всех i
∈ S. Отсюда получаем
∑∑
∈∈
<α<α
Si
i
Si
i
S)(v . Это противоречие доказывает утверждение.
Сформулированные теоретико-игровые понятия и свойства применяются для анализа систем, в которых процесс приня-
тия решений носит однократный характер, а компоненты системы описываются статическими величинами. Поэтому рас-
смотренные игры называются статическими. На практике реальные системы, как правило, описываются параметрами, кото-
рые изменяются во времени, т.е. для более адекватного описания систем требуется задать динамику изменения ее парамет-
ров. Математическими моделями систем в этом случае служат системы дифференциальных уравнений или дискретные про-
цессы, а допустимыми решениями являются некоторые функции времени. Игры, предметом исследования которых являются
конфликтные задачи об управлении объектами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями, называ-
ются дифференциальными.
Пусть динамика компонент системы описывается векторным дифференциальным уравнением
x
&
= f(x(t), u
1
(t), ..., u
n
(t)), t
0
≤ t ≤ T, (3.49)
при начальном условии
x(t
0
) = x
0
,
где х ∈ Е
т
, f = (f
1
, f
2
, …, f
m
), u
i
∈ U
i
, i ∈ I, U
i
– множество допустимых управлений.
Если управление u(t) = (u
1
(t), u
2
(t), ..., U
n
(t)) зависит только от значения параметра t, то такое управление называется
программным. Управление u = u(t, х), которое в каждый момент времени зависит от состояния системы, называется синтези-
рованным или управлением в синтезированной форме.
Стратегией игрока называется отображение, которое в каждый момент времени t ставит в соответствие этому моменту
времени или состоянию x(t) системы некоторое значение управления и. Стратегии в зависимости от отображения также на-
зываются программными или позиционными.
Обозначим через D множество стратегий игрока i. Будем предполагать, что множество допустимых управлений U = (U
1
× U
2
× … × U
n
) таково, что применение любой стратегии из множества D = D
1
× D
2
× … × D
n
для каждого начального со-
стояния порождает единственное измеримое управление u(i)
∈ U и единственную траекторию x(t). Набор стратегий ϕ = (ϕ
1
,
ϕ
2
, …, ϕ
n
), где (ϕ
i
∈ D
i
) называется ситуацией в игре. Каждой ситуации в игре соответствует значение функции выигрыша,
которую в общем случае можно определить следующим образом:
∫
+=ϕϕϕ
T
t
iin
i
xt
TxHdttxhK
0
0
0
))(())(()...,,,(
21
,
, (3.50)
где x(t) – траектория системы, реализующаяся в ситуации ϕ = (ϕ
1
, ϕ
2
, …, ϕ
n
).
Дифференциальная игра, для которой задан момент ее окончания Т, называется игрой с предписанной продолжительно-
стью Т – t
0
.
Описанную дифференциальную игру п лиц с предписанной продолжительностью Т – t
0
динамикой (3.49) и функциона-

Страницы