Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

шением по Штакельбергу.
Предположим, что центр выбрал программное управление u(t). Множество оптимальных реакций R(u), согласно опре-
делению решения по Штакельбергу, есть множество ситуаций равновесия в бескоалиционной дифференциальной игре игро-
ков нижнего уровня при фиксированном управлении центра. При выбранных функционалах выигрышей (3.52) множество
оптимальных реакций есть
))((v)}v,(maxArg{)(
v
tuuHuR
iii
U
ii
=
=
∈
.
Тогда ))(v,(maxArg
0
*
uuHu
Uu∈
= . Обозначим ).(v))((v
**
ttu =
Пара
)v,(
**
u
является ситуацией равновесия по Штакельбергу и совпадает в данном случае с ситуацией равновесия по
Нэшу
)v,(u . Использование таких принципов оптимальности, как равновесия по Нэшу и Штакельбергу, для двухуровневых
иерархических игр является вполне естественным, и они могут быть применены в процессе исследования большого числа
систем, имеющих подобную структуру управления.
Однако это возможно и в том случае, когда система имеет и более сложную многоуровневую структуру управления.
Рассмотрим многоуровневую иерархическую систему, в которой иерархия управления определена следующим образом
(рис. 3.12). Центр (игрок A
0
) находится на первом уровне иерархии.
На k-м уровне иерархии располагаются игроки, входящие в непересекающиеся множества S
k
⊂ I (k = (1, 2, ..., l); I = {1, 2,
…, n}). Все игроки первого уровня подчинены игроку A
0
, игрок i k-го уровня иерархии (k = 1, 2, ..., l – 1) имеет в своем под-
чинении множество игроков F
1
∈ S
k+1
. Множества F
i
и F
j
не пересекаются для любых i и j, неравных между собой. Динамика
игры описывается системой дифференциальных уравнений
Рис. 3.12. Пример многоуровневой иерархической системы
,...,,2,1,v,
,)v,v,v,,(),,(
niVUu
uygyuxfx
ii
iFLiii
ii
=∈∈
==
&&
где
i
L
v
есть управление игрока L
i
, которому подчинен игрок i;
i
F
v
– вектор управлений игроков, подчиненных игроку i.
Функционалы выигрышей зададим следующим образом:
....,,2,1,)v,v,v,()v,v,v,(
,)v,,,()v,(
,
0
0
0
0
nidtyxhuH
dtuyxhuH
iFLi
T
iFLi
T
i
iiii
==
=
∫
∫
Центр, используя программное управление, сообщает игрокам нижних уровней управление u(t). Игроки всех других
уровней, за исключением последнего, также сообщают игрокам, нижних уровней свои программные управления. Игроки
нижнего уровня определяют свою реакцию на управление центра и игрока более верхнего уровня, которому они подчинены:
lLiiLi
V
Li
SiuuHuR
ii
ii
i
∈
=
=
∈
),v,(v)v,v,(maxArg)v,(
v
.
Затем игроки более высоких уровней последовательно определяют свою реакцию:
)v,(v)v),(v,v,(maxArg)v,(
v
iii
ii
i
LiiFLi
V
Li
uuHuR
=
⋅
=
∈
.
Центр, зная реакцию игроков нижних уровней, выбирает управление )(tu , максимизирующее функционал )v,(
0
uH .
Построенная таким образом ситуация
)v,(u является ситуацией равновесия по Нэшу в многоуровневой иерархической игре.
Равновесие по Штакельбергу в многоуровневой игре определяется следующим образом. Множество оптимальных реак-
А
0
В
1
В
2
1
r
B
1
1
+r
B
2
1
+r
B
L3
1
+r
B

Страницы