Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ций игроков из S
i
имеет вид
}v)v,v,()v,v,(|v{)v,(
iiiLiiLiiiLi
VuHuHVuR
iii
∈
′
∀
′
≥∈=
.
Для игроков более высоких уровней множество оптимальных реакций задается следующим образом:
.}v)v,v,v,(min
)v,v,v,(min|v{)v,(
)v,(v
)v,(v
iii
i
FLi
Fj
uR
i
i
FLi
Fj
uR
iiLi
VuH
uHVuR
i
i
ij
i
F
i
i
ij
i
F
i
∈
′
∀
′
∏
≥
≥
∏
∈=
∈
′
∈
∈
∈
Оптимальным решением центра в многоуровневой иерархической дифференциальной игре называется u
*
∈ U, такое,
что
.)v...,,v,(min...minmin
)v...,,v,(min...minmin
10
)v,(v)v,(v)(v
1
*
0
)v,(v)v,(v)(v
2
1
*
2
*
1
*
UuuH
uH
n
uRuRuR
n
uRuRuR
l
Si
i
Lii
Si
i
Lii
Si
ii
l
Si
i
Lii
Si
i
Lii
Si
ii
∈∀≥
≥
∈∈
∈
∈∈
∈
∈∈∈
∈∈∈
Любой вектор )v...,,v,(
**
1
*
n
u называется ситуацией равновесия по Штакельбергу, если
)v,(v
***
i
i
Li
uR∈
для любого i ∈
I.
Рассмотрим случай, когда оптимальные реакции являются одноэлементными. Построим множество оптимальных реак-
ций для игроков различных уровней. Для игроков нижнего уровня будем иметь
l
i
Li
i
Lii
V
Li
SiuuHuR
ii
i
∈
=
=
∈
),v,(v)v,v,(maxArg)v,(
v
.
Для игроков более верхних уровней получим
)v,(v)v),v,(v,v,(maxArg)v,(
v
i
LiiiF
i
Li
V
Li
uuuHuR
i
ii
i
=
=
∈
.
Оптимальным решением центра в рассматриваемой иерархической дифференциальной игре будет
))(v...,),(v,(maxArg
10
*
⋅⋅=
∈
n
Uu
uHu ,
а ситуация )v...,,v,(
**
1
*
n
u , где
***
v)(v
ii
u = – равновесием по Штакельбергу.
Таким образом, решение по Штакельбергу и решение по Нэшу в многоуровневой дифференциальной иерархической
игре с указанными функционалами выигрышей совпадают. Это обусловлено предположением о единственности точек мак-
симума функционалов выигрышей при всех значениях параметров. В общем случае решение по Нэшу не совпадает с реше-
нием по Штакельбергу.
Для нахождения ситуаций равновесия по Нэшу и по Штакельбергу, отражающих оптимальное поведение как центра,
так и подсистем, требуется решить значительное количество задач линейного и нелинейного параметрического программи-
рования. Причем, чем выше игрок находится в иерархической структуре, тем больший объем информации для принятия ре-
шения ему необходим, поскольку в силу иерархической структуры принятия решений игрок, делающий первый ход, для на-
хождения своей оптимальной стратегии должен вычислить сначала оптимальные стратегии всех прямо или опосредованно
подчиненных ему игроков.
3.5.3. Двухуровневые и ромбовидные иерархические структуры управления
Рассмотрим двухуровневую иерархическую игру, моделирующую процесс принятия решений в системе управления, для
которой известны:
1) центр A
0
и множество I = {1, 2, ..., п} игроков нижнего уровня. Центр обладает правом первого хода, т.е. выбирает
первым свое управление и сообщает его игрокам нижнего уровня;
2) множество стратегий центра U и игроков нижнего уровня V
1
× V
2
× ... × V
n
;
3) на множестве U
× V
1
× V
2
× ... × V
n
определены функции выигрышей
)v...,,v,v,(
2100 n
uHH
=
, (3.53)
niuHH
nii
...,,2,1),v...,,v,v,(
21
=
=
. (3.54)
Все игроки стремятся максимизировать свои выигрыши. Будем предполагать, что для любого u ∈ U множество опти-
мальных реакций R(u) игроков нижнего уровня не пусто.
Рассмотрим частный случай описанной игры – двухуровневую древовидную игру, которую иногда называют «веер-
ной», характеризующуюся тем, что выигрыши игроков нижнего уровня описываются функциями
)v,(
iii
uHH
=
. (3.55)
Обозначим эту игру через Г
1
. Из вида функций выигрышей (3.55) игроков нижнего уровня можно сделать вывод, что

Страницы