Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

мального управления центра (р
о
, s
о
) будет иметь вид
∑
=
∈
α
n
i
i
i
iiUsp
spH
1
0),(
)),(v(max
.
Если же множества R
i
(p, s
i
) не являются одноэлементными, то для определения оптимального управления центра мож-
но воспользоваться принципом гарантированного результата, т.е. решить задачу
∑
=
∈
∈
α
n
i
i
ii
spR
Usp
H
ii
i
1
0
),(v
),(
)v(minmax
0
.
Рассмотрим ромбовидную систему управления. Схема простейшей ромбовидной системы представлена на рис. 3.13. На
первом уровне располагается центр (игрок A
0
), на втором – игроки B
1
и B
2
, которые подчинены центру, на третьем уровне –
игрок B
3
, который подчинен всем трем игрокам. Центр выбирает свою стратегию (управление) из множества U. Множества
альтернатив игроков B
1
и B
2
обозначим V
1
(u) и V
2
(u) Игрок B
3
выбирает управление из множества V
3
(u, v
1
, v
2
), где v
1
∈ V
1
(u),
v
2
∈ V
2
(u). Функции выигрыша игроков заданы в виде H
0
(u, v
1
, v
2
, v
3
), H
1
(u, v
1
, v
3
), H
2
(u, v
2
, v
3
), H
3
(u, v
1
, v
2
). Таким образом,
мы определили бескоалиционную игру в нормальной форме:
>=<
3210321
,,,,,,, HHHHVVVUГ
Опишем процесс построения ситуаций равновесия по Нэшу и по Штакельбергу в этой игре. Предположим, что в каче-
стве принципа оптимальности в игре выбрано равновесие по Нэшу, и построим множество оптимальных реакций игроков
)v,v,v,(maxArg)v,v,(
3213v213
33
uHuR
V∈
=
. (3.58)
Выберем некоторое управление
*
3
v (u, v
1
, v
2
) ∈ R
3
(u, v
1
, v
2
). Функции выигрыша игроков первого уровня (B
1
, B
2
) пред-
ставим в виде
Рис. 3.13
))v,v,(v,v,()v,v,(
21311211
uuHuH
∗∗
= ,
))v,v,(v,v,()v,v,(
21322212
uuHuH
∗∗
= .
Множество оптимальных реакций игроков первого уровня при известном выборе
*
3
v (u, v
1
, v
2
) получим следующим об-
разом:
.}v,v)v,v,(
),v,v,()v,v,(:v,v)v,v{(
221121
*
2
21
*
121
*
1221121
*
2,1
VVuH
uHuHVVR
∈
′
∈
′
∀≥
≥∈∈=
Предположим, что множество )(
*
2,1
uR не пусто и выберем некоторые управления, )(v
*
1
u , )(v
*
2
u такие, что,
(
)(v
*
1
u , )(v
*
2
u ) ∈ )(
*
2,1
uR . Рассмотрим задачу
)))(v),(v,(v),(v),(v,(max
213210
uuuuuuH
Uu
∗∗∗∗∗
∈
. (3.59)
Пусть u
*
есть решение задачи (3.59). Тогда ситуация (u
*
, )(v
**
1
u , )(v
**
2
u ,
*
3
v (u
*
,
*
1
v ,
*
2
v )) является ситуацией равнове-
сия по Нэшу в бескоалиционной игре четырех лиц A
0
, B
1
, B
2
, B
3
.
Действительно, в силу того, что u* является решением задачи (3.59), для любых u ∈ U выполняется неравенство
≥
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
)))(v),(v,(v),(v),(v,(
213210
uuuuuuH
)))(v),(v,(v),(v),(v,(
213210
uuuuuuH
∗∗∗∗∗
≥ .
А
0
В
1
В
2
В
3

Страницы