Интегральное исчисление функции одной переменной (неопределенный интеграл). Гулидов A.И - 15 стр.

           § 2. Метод подведения под дифференциал
   Этот метод основан на доказанном нами выше (см. §1, глава 1)
важнейшем свойстве неопределённого интеграла


    Рассмотрим табличный интеграл ∫dx = x + C. Если в левую часть
этого интеграла подставить вместо х любую функцию, например, sin х , то в
правой части эта переменная заменится также функцией sin x ,т.е.

Действительно,
    d(sin х) = cos dx => ∫ d(sin х) = ∫ cos xdx = sin х + С .
    Вместо функции sinx можно было взять любую произвольную
функцию, но первообразная при этом сохраняет свой вид, что в свою
очередь связано с инвариантностью дифференциала, рассмотренному
нами в дифференциальном исчислении. Таким образом, если необходимо
вычислить интеграл


то можно воспользоваться формулой:


    Это соотношение позволяет сформулировать суть метода подведения
под дифференциал: в подынтегральном выражении необходимо
усмотреть или создать дифференциал такой функции, чтобы оставшаяся
часть выражалась бы через эту функцию.
   Рассмотрим применение этого метода на примерах.
   Пример 1. Найти интегралы:




 Заменяя xdx найденным выражением, получим:

                                 14