Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M S(M)
M M S(M)
ϕ
M
N S(M)
A N
ϕ
M
|¬ A| = M r |A| , |A N B| = |A| ∩ |B| ,
|A ∨ B| = |A| ∪ |B| , |A
¡
¢
B| = |¬ A| ∪ |B| .
ϕ
M
: A → S(M) N
M ϕ
M
(A) = |A|
ϕ
M
A
ϕ
M
M
A ∼ B A B
N |A|
ϕ
M
= |B|
ϕ
M
ϕ
M
A N
ψ
M
ψ
M
([A]
∼
) = ϕ
M
(A) ,
Φ = A /∼ S(M)
P
2
A
S(M)
Φ = A/ ∼
λ
ϕ
M
nat (∼)
i
ψ
M
94                  Ãëàâà 3. Ãåíöåíîâñêèå èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé


Ñåìàíòèêà. Ïóñòü M  íåïóñòîå ìíîæåñòâî è S(M )  íåêîòîðàÿ
àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ M . Äàëåå M è S(M ) ñ÷èòàþòñÿ ôèêñèðîâàí-
íûìè.
   Çàäàäèì îòîáðàæåíèå ϕM ìíîæåñòâà ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåí-
íûõ (àòîìàðíûõ ôîðìóë) ÈÑ N â S(M ). Ïî èíäóêöèè ðàñøèðèì äàí-
íîå îòîáðàæåíèå íà ìíîæåñòâî A âñåõ ôîðìóë ÈÑ N êàê óêàçàíî
íèæå (îïóñêàÿ äëÿ ïðîñòîòû èíäåêñ ϕM ):

             |¬ A| = M r |A| ,              |A N B| = |A| ∩ |B| ,
                                               ¡
           |A ∨ B| = |A| ∪ |B| ,           |A ¢ B| = |¬ A| ∪ |B| .

Òàêîå îòîáðàæåíèå ϕM : A → S(M ) íàçîâ¼ì èíòåðïðåòàöèåé ÈÑ N
â M , à çíà÷åíèå ϕM (A) = |A|ϕM  îöåíêîé ôîðìóëû A â äàííîé
èíòåðïðåòàöèè ϕM .
   Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàò èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëû â ìíîæåñòâå M
åñòü íåêîòîðîå åãî ïîäìíîæåñòâî, ïðè÷¼ì ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè èíòåðïðå-
òèðóþòñÿ êàê îïåðàöèè íà ýòèõ ïîäìíîæåñòâàõ. Ïîä÷åðêí¼ì ýòó èíòå-
ðåñíóþ ïàðàëëåëüíîñòü ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ
îïåðàöèé.
   Îòíîøåíèå A ∼ B ñåìàíòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìóë A è B
ÈÑ N ñòàíäàðòíî îïðåäåëÿåòñÿ êàê |A|ϕM = |B|ϕM äëÿ ëþáîé èíòåð-
ïðåòàöèè ϕM . Ñåìàíòè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ïîðîæäàåò ðàçáèåíèå
ìíîæåñòâà A âñåõ ôîðìóë ÈÑ N íà ñìåæíûå êëàññû. Íàïîìíèì, ÷òî
åñòåñòâåííîå (êàíîíè÷åñêîå, íàòóðàëüíîå) îòîáðàæåíèå äëÿ íåêîòîðîãî
ìíîæåñòâà ñ çàäàííîé íà í¼ì ýêâèâàëåíòíîñòüþ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå
êàæäîìó ýëåìåíòó ýòîãî ìíîæåñòâà ñâîé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè.
   Èç ïðåäûäóùåãî ÿñíî, ÷òî îòîáðàæåíèå ψM îïðåäåëÿåìîå ïðàâè-
ëîì
                        ψM ([A]∼ ) = ϕM (A) ,
çàäàííî êîððåêòíî è ÿâëÿåòñÿ áóëåâûì ãîìîìîðôèçìîì ôàêòîð-
àëãåáðû ëîãè÷åñêèõ ôîðìóë Φ = A / ∼ â àëãåáðó ìíîæåñòâ S(M ).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî äèàãðàììà


                         [^u [                   w S(M )
                                λ            ϕM
                    P2                 A

                               [               
                            i       ][ u 
                                nat (∼)
                                                 ψM


                                    Φ = A/ ∼

Страницы