Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
P
2
λ
nat(∼) i
λ
ψ
M
ϕ
M
N
ϕ
M
|A
1
, . . . , A
m
` B| ⇔ |A
1
| ∩ . . . ∩ |A
m
| ⊆ |B|
| ` B| ⇔ |B| = M
|A
1
, . . . , A
m
` | ⇔ |A
1
| ∩ . . . ∩ |A
m
| = ∅
| ` | ⇔ M = ∅
M
ϕ
M
(Σ) = |Σ|
ϕ
M
∈ { , } Σ
ϕ
M
ϕ
M
Σ
ϕ
M
Σ
H Σ
|Σ|
ϕ
M
= M
ϕ
M
M
`
N
N
A ` A A
` A
A N
ϕ
M
|A|
ϕ
M
= M
S(M)
{M, ∅} A ∈ F m(N) |A|
ϕ
= M
|A|
ϕ
= ∅ = ∅ = M ϕ
M
: A → 2
N
|A
1
, . . . , A
m
` B| = |A
1
| N . . . N | A
m
|
¡
¢
|B|
| ` B| = |B|
1. Èñ÷èñëåíèå N íàòóðàëüíîãî òèïà                                 95


êîììóòàòèâíà (ò.å. ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ îòîáðàæå-
íèé ïðè äâèæåíèè ïî ñòðåëêàì èç îäíîé âåðøèíû äèàãðàììû ê äðóãîé
íå çàâèñèò îò âûáðàííîãî ïóòè, ñì. [5]). Çäåñü P2  ìíîæåñòâî âñåõ
ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè, λ  îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå
äàííîé ôîðìóëå ðåàëèçóåìóþ åé áóëåâó ôóíêöèþ, à nat(∼) è i 
ñîîòâåòñòâåííî åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå è áèåêöèÿ, ïîðîæäàåìûå λ,
ψM  ãîìîìîðôèçì êëàññîâ ôîðìóë â áóëåâó àëãåáðó èõ îöåíîê ïðè
äàííîé èíòåðïðåòàöèè ϕM .
   Èíòåðïðåòàöèÿ ñåêâåíöèé ÈÑ N îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç èíòåðïðåòà-
öèþ ôîðìóë ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè (èíäåêñ ϕM äëÿ ïðîñòîòû îïóñ-
êàåì):
     1)   |A1 , . . . , Am ` B| ⇔ |A1 | ∩ . . . ∩ |Am | ⊆ |B| ;
     2)   | ` B| ⇔ |B| = M ;
     3)   |A1 , . . . , Am ` | ⇔ |A1 | ∩ . . . ∩ |Am | = ∅ ;
     4)   | ` | ⇔ M = ∅.
   Ìû âèäèì, ÷òî îáðàç èíòåðïðåòàöèè ñåêâåíöèè åñòü íåêîòîðîå
îòíîøåíèå íà ïîäìíîæåñòâàõ M . Îíî ìîæåò áûòü êàê èñòèí-
íûì, òàê è ëîæíûì, ò.å. ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì. Ñàìî çíà÷åíèå
ϕM (Σ) = |Σ|ϕM ∈ {0, 1} íàçûâàåòñÿ îöåíêîé ñåêâåíöèè Σ â
èíòåðïðåòàöèè ϕM .
   Èíòåðïðåòàöèþ ϕM , ïðè êîòîðîé äàííàÿ ñåêâåíöèÿ Σ îöåíèâàåòñÿ
êàê èñòèííàÿ [ëîæíàÿ] íàçîâ¼ì å¼ ìîäåëüþ [êîíòðìîäåëüþ ] è áóäåì
ãîâîðèòü, ÷òî ϕM âåðèôèöèðóåò [ôàëüñèôèöèðóåò ] Σ  àíàëîãè÷-
íî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîíÿòèÿì äëÿ ôîðìóë â ÈÂ H . Ñåêâåíöèþ Σ
íàçûâàþò òîæäåñòâåííî èñòèííîé, åñëè |Σ|ϕM = M äëÿ ëþáîé èí-
òåðïðåòàöèè ϕM . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âñþäó ëîæíîé,
âûïîëíèìîé è ò.ä. ñåêâåíöèè. Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó M  íåïóñòîå
ìíîæåñòâî, òî èíòåðïðåòàöèÿ ñåêâåíöèè ` âñåãäà ëîæíà è å¼ âûâîäè-
ìîñòü áóäåò îçíà÷àòü ïðîòèâîðå÷èâîñòü ÈÑ N .
   Ââåä¼ííûå ïîíÿòèÿ ïåðåíîñÿòñÿ íà ôîðìóëû ÈÑ N : ìîäåëüþ ôîð-
ìóëû A ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü ñåêâåíöèè ` A, ôîðìóëà A òîæäåñòâåííî
èñòèííà, åñëè òîæäåñòâåííî èñòèííà ñåêâåíöèÿ ` A è ò.ä. Òàêèì îáðà-
çîì, ôîðìóëà A ÈÑ N âñþäó èñòèííà, åñëè äëÿ ëþáîé èíòåðïðåòàöèè
ϕM èìååò ìåñòî |A|ϕM = M .
   Åñëè â êà÷åñòâå S(M ) âçÿòü òðèâèàëüíóþ àëãåáðó ìíîæåñòâ
{M, ∅}, òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ∈ F m(N ) èìååì |A|ϕ = M èëè
|A|ϕ = ∅. Ïîëîæèì 0 = ∅ è 1 = M . Îòîáðàæåíèå ϕM : A → 2
íàçûâàþò ãëàâíîé èíòåðïðåòàöèåé ÈÑ N . Â ãëàâíîé èíòåðïðåòàöèè
                                                        ¡
      1) |A1 , . . . , Am ` B| = |A1 | N . . . N | Am | ¢ |B| ;
      2) | ` B| = |B| ;

Страницы