Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P(N)
∗
R
R
∗
R
R R
∗
R
R
A B n
nA > B
A B
ε
I
x
ε + . . . + ε
| {z }
n
> x x + . . . + x
| {z }
n
> I
n
∗
R
F P(N)
a = a
1
, a
2
, . . .
b = b
1
, b
2
, . . . a
i
= b
i
F
∗
R a [ a, a, . . . ]
+ − × ÷
a < b a
i
> b
i
F
F
[ 1,
1
2
,
1
3
, . . . ]
[ 1, 2, 3, . . . ]
F
X
n
= { x
1
, . . . , x
n
} n
o ι X
n
x
1
, . . . , x
n
, 0, 1
p q (p) t (q) (p) u (q) (p)
0
110                                               Ãëàâà 5. Áóëåâû àëãåáðû (ïðîäîëæåíèå)


çíà÷åí, è, íà ñàìîì äåëå, äî ñèõ ïîð íå óêàçàíî íè îäíîãî íåãëàâíîãî óëüòðàôèëüòðà â
ÿâíîì âèäå, áåç ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûáîðà.
   Íåãëàâíûå óëüòðàôèëüòðû íàä P(N) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû, íàïðèìåð, ïðè ïî-
ñòðîåíèè ïîëÿ ãèïåðäåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë â íåñòàíäàðòíîì àíàëèçå.
Ïðèìåð 5.6. Ìíîæåñòâî ãèïåðäåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ∗ R, èçó÷àåìûõ â íåñòàíäàðòíîì àíà-
ëèçå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåàðõèìåäîâî óïîðÿäî÷åííîå ïîëå, ÿâëÿþùååñÿ ðàñøèðåíèåì
ïîëÿ R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë6 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∗ R  öåïü, â êîòîðóþ âëîæåíî ìíî-
æåñòâî R (îáðàç R  ñòàíäàðòíûå ãèïåðäåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà) è ñîäåðæàùåå, êðîìå
òîãî, ìíîæåñòâî ò.í. íåñòàíäàðòíûõ ãèïåðäåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ïðè ýòîì â ∗ R âûïîë-
íÿþòñÿ âñå àêñèîìû ïîëÿ, îäíàêî íå âûïîëíÿåòñÿ ñïðàâåäëèâàÿ â R àêñèîìà Àðõèìåäà :
¾äëÿ ëþáûõ äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë A è B ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå n òàêîå, ÷òî
nA > B ¿.
   Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íàñëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ïðè ðàñøèðåíèè, àêñèîìà Àðõèìåäà ìîæåò
íàðóøàòüñÿ ëèøü êîãäà õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë A è B íåñòàíäàðòíîå. Ñðåäè íåñòàí-
äàðòíûõ ÷èñåë âûäåëÿþò áåñêîíå÷íî áîëüøèå è áåñêîíå÷íî ìàëûå. Òàê, åñëè ÷èñëà ε è
I ñóòü ïîëîæèòåëüíûå áåñêîíå÷íî ìàëîå è áåñêîíå÷íî áîëüøîå ãèïåðäåéñòâèòåëüíûå, à
x  ïîëîæèòåëüíîå äåéñòâèòåëüíîå, òî íåðàâåíñòâà

                        ε| + .{z
                               . . + ε} > x   è     x
                                                    | + .{z
                                                          . . + x} > I
                            n ðàç                      n ðàç

íå áóäóò âûïîëíÿòüñÿ íè äëÿ êàêîãî íàòóðàëüíîãî n.
    Ïîëå ãèïåðäåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ∗ R ìîæíî ïîñòðîèòü, èñïîëüçóÿ íåêîòîðûé íåãëàâ-
íûé óëüòðàôèëüòð F â P(N). Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáû÷-
íûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a = a1 , a2 , . . . è
b = b1 , b2 , . . .. ýêâèâàëåíòíû, åñëè ðàâåíñòâî ai = bi íàðóøàåòñÿ íà ìíîæåñòâå, íå ïðè-
íàäëåæàùåì F .
    Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî, â ñèëó ñâîéñòâ óëüòðàôèëüòðîâ ââåä¼ííîå îòíîøåíèÿ äåé-
ñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè è, íàïðèìåð, âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,
îòëè÷àþùèåñÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå ÷ëåíîâ, ýêâèâàëåíòíû. Ïîëó÷àþùèåñÿ êëàññû ýêâèâà-
ëåíòíîñòè íàçîâ¼ì ãèïåðäåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè; îíè è áóäóò ÿâëÿòüñÿ ýëåìåíòàìè
∗
  R. Äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó a ñîîòâåòñòâóåò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè [ a, a, . . . ], ýòî 
ñòàíäàðòíîå ãèïåðäåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
    Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ +, −, × è ÷ ïðîèçâîäÿòñÿ íàä ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè
ïî÷ëåííî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a < b , åñëè íåðàâåíñòâî ai > bi âûïîëíÿåòñÿ íà êàêîì-
ëèáî ìíîæåñòâå, íå âõîäÿùåì â F .
    Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî, ïîñêîëüêó F  óëüòðàôèëüòð, ïîëó÷åíî óïîðÿäî÷åííîå
ïîëå. Â ýòîì ïîëå, îäíàêî, àêñèîìà Àðõèìåäà íå âûïîëíÿåòñÿ: íàïðèìåð, [ 1, 12 , 13 , . . . ]
åñòü áåñêîíå÷íî ìàëîå, à [ 1, 2, 3, . . . ]  áåñêîíå÷íî áîëüøîå ãèïåðäåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
Ïðè ïðîâåðêå ýòèõ ñâîéñòâ è òðåáóåòñÿ, ÷òîáû F áûë íåãëàâíûì óëüòðàôèëüòðîì.


5.4 Áóëåâû ìíîãî÷ëåíû
Îïðåäåëåíèå 5.5. Ïóñòü Xn = { x1 , . . . , xn }  n -ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî íåèçâåñòíûõ
èëè ïåðåìåííûõ, íå ñîäåðæàùåå ñèìâîëîâ o è ι. Òîãäà áóëåâû ìíîãî÷ëåíû íàä Xn ñóòü
îáúåêòû, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

 1) x1 , . . . , xn , 0, 1  áóëåâû ìíîãî÷ëåíû;
 2) åñëè p è q  áóëåâû ìíîãî÷ëåíû, òî òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ è (p) t (q), (p) u (q), (p) 0 .
   6 Ýëåìåíòàðíîìó ââåäåíèþ â íåñòàíäàðòíûé àíàëèç ïîñâÿùåíà áðîøþðà Â.À. Óñïåíñêèé. ¾Íåñòàí-
äàðòíûé, èëè íåàðõèìåäîâ, àíàëèç¿.  Ì.: Çíàíèå, 1983, îòêóäà âçÿòû ýòîò è ïðåäûäóùèé ïðèìåðû.

Страницы