Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Доказанная теорема имеет следующие простые
Следствия. 1. Если конечная булева алгебра имеет n атомов, то общее число её
элементов равно 2
n
.
2. Любые две конечные булевы алгебры с одинаковым числом элементов изоморфны.
3. Любая конечная булева алгебра изоморфна подходящей алгебре n-мерных двоичных
векторов.
В некоторых булевых алгебрах удается определить объединение и пересечение произ-
вольной совокупности её элементов. Такая булева алгебра называется полной. Ясно, на-
пример, что тотальная алгебра множеств является полной булевой алгеброй, а σ-алгебра,
где операции объединения и пересечения могут браться по счётной совокупности мно-
жеств, является “промежуточной” между обычной и полной булевыми алгебрами.
Оказывается возможным распространить доказанный вариант теоремы Стоуна на
случай всех полных атомных алгебр, и справедливой является следующая
Теорема 1.9 (О представлении полных атомных булевых алгебр). Пусть B — полная
атомная булева алгебра с носителем B и At(B) — множество всех её атомов. Тогда
B
∼
=
P(At(B)) .
1.2 Декартово произведение множеств. Отношения. Однородные
отношения
1.2.1 Основные определения
Пусть I = { i
1
, i
2
, . . . } — произвольное конечное или бесконечное подмножество нату-
рального ряда, которое мы будем называть множеством индексов и каждому i ∈ I сопо-
ставлено множество X
i
. Декартовым (или прямым) произведением непустых множеств
{X
i
}
i∈I
называют множество последовательностей ( a
i
1
, a
i
2
, . . . ), где a
i
∈ A
i
.
Декартово произведение обычно определяют для произвольной совокупности индек-
сов. Нам, однако, будет достаточно данного определения. Более того, в дальнейшем мы
будем, как правило, рассматривать конечный случай I = {1, . . . , k}, обозначая декарто-
во произведение
A
1
× A
2
× . . . × A
k
или
k
Y
i =1
A
i
.
Считается, что A
i
⊂
k
Q
i =1
A
i
. Заметим, что A×B 6= B×A. Также A×B×C, (A×B)×C
и A × (B × C) суть разные множества.
В частном случае A
1
= . . . = A
k
= A декартово произведение обозначают A
k
и на-
зывают k-ой декартовой степенью множества A. Под A
0
понимают некоторое одноэле-
ментное подмножество из A. Ясно, что A
1
= A и A
m
× A
n
6= A
m+n
.
Определение 1.5. Отношения суть подмножества декартовых произведений множеств.
Число множеств в соответствующем декартовом произведении определяет местность
или арность отношения. Говорят об унарных (одноместных), бинарных (двуместных),
тренарных (трёхместных) и т.д. отношениях.
12
   Доказанная теорема имеет следующие простые

Следствия.   1. Если конечная булева алгебра имеет n атомов, то общее число её
    элементов равно 2n .

  2. Любые две конечные булевы алгебры с одинаковым числом элементов изоморфны.

  3. Любая конечная булева алгебра изоморфна подходящей алгебре n-мерных двоичных
     векторов.

   В некоторых булевых алгебрах удается определить объединение и пересечение произ-
вольной совокупности её элементов. Такая булева алгебра называется полной. Ясно, на-
пример, что тотальная алгебра множеств является полной булевой алгеброй, а σ-алгебра,
где операции объединения и пересечения могут браться по счётной совокупности мно-
жеств, является “промежуточной” между обычной и полной булевыми алгебрами.
   Оказывается возможным распространить доказанный вариант теоремы Стоуна на
случай всех полных атомных алгебр, и справедливой является следующая

Теорема 1.9 (О представлении полных атомных булевых алгебр). Пусть B — полная
атомная булева алгебра с носителем B и At(B) — множество всех её атомов. Тогда

                                       B ∼
                                         = P(At(B)) .

1.2     Декартово произведение множеств. Отношения. Однородные
        отношения
1.2.1   Основные определения
Пусть I = { i1 , i2 , . . . } — произвольное конечное или бесконечное подмножество нату-
рального ряда, которое мы будем называть множеством индексов и каждому i ∈ I сопо-
ставлено множество Xi . Декартовым (или прямым) произведением непустых множеств
{Xi }i∈I называют множество последовательностей ( ai1 , ai2 , . . . ), где ai ∈ Ai .
   Декартово произведение обычно определяют для произвольной совокупности индек-
сов. Нам, однако, будет достаточно данного определения. Более того, в дальнейшем мы
будем, как правило, рассматривать конечный случай I = {1, . . . , k}, обозначая декарто-
во произведение
                                                           Yk
                                 A1 × A2 × . . . × Ak или     Ai .
                                                        i =1

                         Q
                         k
   Считается, что Ai ⊂          Ai . Заметим, что A×B 6= B ×A. Также A×B ×C, (A×B)×C
                         i =1
и A × (B × C) суть разные множества.
   В частном случае A1 = . . . = Ak = A декартово произведение обозначают Ak и на-
зывают k-ой декартовой степенью множества A. Под A0 понимают некоторое одноэле-
ментное подмножество из A. Ясно, что A1 = A и Am × An 6= Am+n .

Определение 1.5. Отношения суть подмножества декартовых произведений множеств.

   Число множеств в соответствующем декартовом произведении определяет местность
или арность отношения. Говорят об унарных (одноместных), бинарных (двуместных),
тренарных (трёхместных) и т.д. отношениях.



                                             12

Страницы