Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 10 стр.

Действительно, ϕ(o) = ϕ(x u x 0 ) = ϕ(x) u ϕ(x 0 ) = ϕ(x) u ϕ(x)0 = o и аналогично по
двойственности — для ϕ(ι).
   Мы видим, что булев изоморфизм — это взаимнооднозначная функция, сохраняющая
операции и особые элементы o и ι булевой алгебры.
   В записи булевых алгебр B1 и B2 мы использовали одинаковые обозначения и для
соответствующих операций, и для выделенных элементов. Стремясь не усложнять обо-
значения, так обычно и поступают. При внимательном чтении путаницы относительно
принадлежности операций и выделенных элементов к одной или другой алгебре возник-
нуть не должно.
Пример 5. Тотальная алгебра над n-элементным множеством Булевым изоморфизмом
здесь будет является отображение ϕ : B n → P(A), ставящее в соответствие вектору
(α1 , . . . , αn ) множество { ai1 , . . . , aik | αik = 1, k = 1, n }.
    Алгебра высказываний, очевидно, изоморфна тривиальной алгебре множеств.
   Существует простой критерий изоморфности тотальных алгебр множеств.
Теорема 1.4. Для того, чтобы тотальные алгебры множеств P(A) и P(B) были
изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы A и B имели одинаковую мощность.
Доказательство. (⇐, необходимость) Пусть существует изоморфизм ϕ между алгеб-
рами P(A) и P(B). Тогда ϕ — взаимнооднозначное соответствие между множествами
A и B, откуда следует их равномощность.
   (⇒, достаточность) Пусть множества A и B равномощны. Тогда между их элемента-
ми можно установить взаимнооднозначное соответствие ϕ. Распространим отображение
ϕ на подмножества множеств A и B, поставивS в соответствие произвольному подмно-
жеству X множества A его образ ϕ(X) = a∈X ϕ(a) в B. Простая проверка показы-
вает, что полученное расширение ϕ не только устанавливает взаимнооднозначное соот-
ветствие между подмножествами A и B, но и является булевым изоморфизмом между
P(A) и P(B).

1.1.4   Теорема Стоуна
Справедлива следующая основная теорема о представлении произвольных булевых ал-
гебр алгебрами множеств.
Теорема 1.5 (Стоуна). Всякая булева алгебра изоморфна подходящей алгебре мно-
жеств.
   Иными словами, теорема Стоуна утверждает существование вложения произвольной
булевой алгебры в некоторую алгебру множеств. Мы докажем эту теорему для конечного
случая. Для этого нам потребуются ввести понятие атома булевой алгебры.
Определение 1.4. Ненулевой элемент a булевой алгебры называется атомом, если для
любого её элемента x справедливо либо a u x = o, либо a u x = a. В последнем случае
то говорят, что элемент x содержит атом a.
   В булевой алгебре всех n-мерных двоичных векторов атомы суть двоичные наборы
единичного веса. В тотальной (конечной или бесконечной) алгебре множеств атомами
будут являться все одноэлементные подмножества носителя.
   Булева алгебра, в которой каждый ненулевой элемент содержит атом, называется
атомной. Обе рассмотренные алгебры — атомные. Булеву алгебру, не содержащую ни
одного атома называют безатомной или непрерывной. Пример безатомной булевой ал-
гебры будет приведён в п. 2.3.

                                         10