Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 9 стр.

      Применение формульного аппарата булевых алгебр для анализа и синтеза элек-
      трических схем имеет огромное прикладное значение. Однако кроме параллельно-
      последовательных, существует ещё т.н. “мостиковые” схемы, когда входные или вы-
      ходные контакты одной цепи присоединяется к внутреннему полюсу другой, обра-
      зуя, тем не менее, двухполюсную цепь (см. рис. 1).



                                          x1
                                             [[x  ◦
                                           
                                                        3


                                         • [x     •
                                            [
                                               5


                                          x2  x       4
                                                   ◦


         Рис. 1: Мостиковая схема (входной и выходной полюсы обозначены • ).

      Для описания таких цепей язык булевой алгебры оказывается недостаточным: «не
      удаётся так усовершенствовать обычный булев аппарат алгебры логики, добавив к
      нему ещё несколько (конечное число!) операций так, чтобы он стал содержать сред-
      ства для описания строения не только параллельно-последовательных, но и мости-
      ковых схем, притом описания адекватного, т.е. такого, при котором каждому кон-
      такту в схеме соответствует ровно одна буква в формуле, выражающая проводи-
      мость данной схемы»3 .
      Действительно, проводимость мостиковой схемы на рис. 1 описывается булевой
      функцией, которая задается формулой (x1 ∧ (x3 ∨ (x4 ∧ x5 ))) ∨ (x2 ∧ (x4 ∨ (x3 ∧ x5 ))),
      не являющейся, однако, безповторной, и никакое её эквивалентное преобразование
      не приведёт, как нетрудно убедится, к безповторной форме4 .
   Приведенные выше системы являются представлениями или реализациями булевой
алгебры.
Пример 4. Для любых действительных чисел a, b из отрезка [0, 1] положим

                 a ⊕ b = max {a, b},     a ⊗ b = min {a, b},       ªa = 1 − a .

Система h [0, 1], ⊕, ⊗, ª, 0, 1 i не будет являться булевой алгеброй, поскольку в ней не
выполняются, скажем, законы Де Моргана.
Определение 1.3. Пусть даны две булевы алгебры B1 и B2 и взаимнооднозначная
функция ϕ : B1 → B2 такая, что равенства
 1) ϕ(x t y) = ϕ(x) t ϕ(y) 2) ϕ(x u y) = ϕ(x) u ϕ(y)
 3) ϕ(x 0 ) = ϕ(x)0
справедливы для всех x и y из B1 . Тогда говорят, что ϕ — булев изоморфизм между
B1 и B2 , данные алгебры (булево) изоморфны и пишут B1 ∼= B2 .
Замечание. Легко показать, что из 1) – 3) следует

                              4) ϕ(o) = o      и       5) ϕ(ι) = ι .
  3
     А.В. Кузнецов. О безповторных контактных схемах и безповторных суперпозициях функций алгебры
логики // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова, т. LI. — М.: 1958.
   4
     Попытка построения подобного булевой алгебре формализованного формульного языка, пригодного
для адекватного описания двухполюсных цепей общего вида, предпринята в работе Е.К. Войшвилло.
Алгебра двухполюсных сетей / Формальная логика и методология науки. — М.: Наука, 1964.

                                                   9