Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 8 стр.

  0 («ложь») и логической единицы 1 («истина»). Полученная АС h B, σB i явля-
  ется, как нетрудно видеть, булевой алгеброй. Эта простая алгебра играет фунда-
  ментальную роль в логике. Она называется алгеброй логики или алгеброй высказы-
  ваний. Заметим, что в логике Cmp 0 и Isl 0 называются соответственно законами
  «исключенного третьего» и «непротиворечия».
2. АС h B n , ∨, ∧, ¬, 0̃, 1̃ i, где B n — булев n-мерный куб, 0̃ = (0, . . . , 0),
   1̃ = (1, . . . , 1), а сигнатурные операции применяются к булевым векторам поком-
   понентно, называют булевой алгеброй n-мерных двоичных векторов.
3. Обозначим через P2 множество всех (двузначных) булевых функций, через
   0 — тождественный нуль и через 1 — тождественную единицу. Тогда АС
   h P2 , ∨, ∧, ¬, 0, 1 i есть булева алгебра. Её называют булевой алгеброй логических
   функций.
4. Пусть N свободное от квадратов натуральное число. Это означает, что справед-
   ливо представление N = p1 . . . pk , где p1 , . . . , pk — различные простые числа. Со-
   вокупность всех делителей N обозначим D(N ). Например, для N = 30 = 2 · 3 · 5
   имеем D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }.
  Наименьшее общее кратное чисел m и n обозначим m ∨ n, а их наибольший общий
  делитель — m∧n. Положим m0 = N  m
                                    . Тогда АС h D(N ), ∨, ∧, 0 , 1, N i, как нетрудно
  проверить, есть булева алгебра.
5. Рассмотрим множество электрических выключателей, или контактов, которые мо-
   гут находиться в одном из двух состояний — замкнутом (проводящем) или разо-
   мкнутом (не проводящем). Операцию переключения контакта из одного состояния
   в другое будем обозначать чертой ( − ) над ним. У таких контактов различают вход-
   ной и выходной полюсы, которые можно соединять с полюсами других контактов.
  Из данных контактов можно строить электрические двухполюсные (один вход и
  один выход) цепи. Если соединять друг с другом только входные и выходные по-
  люсы, то имеется только два способа объединения таких цепей: последовательное и
  параллельное. Таким образом получают класс т.н. параллельно-последовательных
  контактных схем. Их ещё называют П-схемами.
  Под произведением A · B будем понимать цепь, образованную из сетей A и B
  путём присоединения выходного полюса цепи A к входному полюсу цепи B с со-
  хранением входного полюса A в качестве входного полюса всей полученной цепи,
  в выходного полюса B в качестве её выходного полюса. Под суммой A + B бу-
  дем понимать цепь, полученную объединением соответственно входных и выход-
  ных полюсов цепей A и B. Обозначим через I постоянно замкнутый, а через O —
  постоянно разомкнутый контакты. При этом проводимость получаемых цепей бу-
  дут описываться т.н. безповторными формулами, в которых каждому контакту це-
  пи соответствует выражающая его проводимость единственная пропозициональная
  переменная, встречающаяся в формуле ровно один раз.
  Две цепи будем считать одинаковыми, если можно так сопоставить контактам пере-
  менные, что при одном и том же состоянии контактов, соответствующим одной пе-
  ременной и всех произвольных состояниях остальных контактов, обе рассматрива-
  емые цепи являются одновременно либо проводящими, либо не проводящими. Вве-
  денное отношение, очевидно, является отношением эквивалентности на множестве
  цепей. Обозначим через C множество всех попарно неэквивалентных П-схем. Тогда
  АС h C, +, ·, − , O, I i есть, как нетрудно видеть, булева алгебра.

                                           8