Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 6 стр.

Понятно, что S(A) ⊆ P(A). Алгебраическая система h S(A), ∪, ∩, − , ∅, A i называется
алгеброй или полем множеств. Алгебру множеств с носителем P(A) будем называть
тотальной (над A ), а с двухэлементным носителем {A, ∅} — тривиальной алгебрами
множеств.
   Нетрудно показать, что имеет место

Теорема 1.1. Всякая алгебра множеств есть булева алгебра.

Доказательство. Достаточно убедиться, что в алгебре множеств произведены подста-
новки t 7→ ∩, u 7→ ∩, 0 7→ − , ι 7→ A, o 7→ ∅.
   Законы коммутативности, t o, u ι и Cmp 0 , Isl 0 описывают элементарные свойства
теоретико-множественных операций.
   В силу принципа двойственности достаточно доказать справедливость для алгебры
множеств первого закона дистрибутивности: (x ∪ y) ∩ z = (x ∩ z) ∪ (y ∩ z) для любых под-
множеств x, y, z из S(A). Для этого рассмотрим произвольный элемент a ∈ (x ∪ y) ∩ z.
Ясно, что a ∈ z, и либо a ∈ x, либо x ∈ y. В первом случае a ∈ x ∩ z, а во втором —
a ∈ y ∩ z. Следовательно, в любом случае a ∈ x ∩ z или a ∈ y ∩ z, что эквивалентно
a ∈ (x ∩ z) ∪ (y ∩ z). Справедливость второго дистрибутивного закона будет следовать
отсюда по принципу двойственности.
Пример 1. σ-алгебра подмножеств пространства Ω элементарных событий, использу-
емая, например, при аксиоматическом обосновании теории вероятностей, есть алгебра
множеств и, следовательно, булева алгебра.
Замечание. Проверку соотношений Dtr1, Dtr2 и им подобных легче всего проводить,
используя известные читателю диаграммы Эйлера-Венна2 , в которых множество A изоб-
ражается прямоугольником, а его подмножества — различными кругами или овалами об-
щего положения в этом прямоугольнике. При этом объединению элементов соответству-
ет объединение, а пересечению — общая часть фигур, связанных с данными элементами.
Такие диаграммы строят отдельно для левых и правых частей проверяемого соотноше-
ния. Интересующую при данной проверке область заштриховывают. Если заштрихован-
ными оказались одинаковые области, то, рассматривая различные подобласти A, полу-
чающиеся в результате пересечения овалов, можно провести формальное доказательство,
подобное приведённому выше.
   В большинстве практических случаев (когда рассматриваемая булева алгебра изо-
морфна некоторой алгебре множеств — см. ниже определения и теорему1.9 о представле-
нии) для доказательств булевых равенств можно ограничиться рассмотрением “правиль-
но построенных” диаграмм Эйлера-Венна.

Определение 1.2. Пусть дана система множеств X = {X1 , . . . , Xn }. Составляющие
{ s1 , . . . , sk } = S данной системы множеств задаются следующим индуктивным опреде-
лением.

1◦ Составляющие {X1 } суть X1 и X 1 .

2◦ Если S — совокупность составляющих системы {X1 , . . . , Xn−1 }, то S ∩Xn и S ∩X n —
     составляющие системы {X1 , . . . , Xn }.

Система множеств X называется независимой, если все её составляющие непусты.

Пример 2. Рассмотрим множество U = { a, b, c, d }.
  2
      См., например, Р. Фор, А. Кофман, М. Дение-Папен. Современная математика. — М.: Мир, 1966.


                                                 6