Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 5 стр.

Inv 0 . Инволютивность дополнения есть прямое следствие симметричности его основных
       свойств Cmp 0 и Isl 0 .
DeM 1 и DeM 2. Используя законы дистрибутивности, ассоциативности, свойства до-
    полнения и единицы показывается, что для любых x, y ∈ B
                        (x u y) t (x 0 t y 0 ) = ι       и   (x u y) u (x 0 t y 0 ) = o .
        Это означает, что x 0 t y 0 — дополнение к x u y, т.е. выведен закон DeM 1. Выво-
        димость DeM 2 следует из принципа двойственности.
Id t и Id u. Законы идемпотентности вытекают из законов поглощения. Действительно,
     для любого x ∈ B имеет место
                                          Abs1                       Abs2
                                   x t x = x t (x u (x t x)) = x .
        Идемпотентность пересечения следует из только что доказанного по принципу двой-
        ственности.
   Избыточность системы аксиом обычно не является помехой в практической работе.
С другой стороны, в определении булевой алгебры удобно задавать именно приведённый
набор аксиом, содержащий все основные характерные для неё соотношения.
   Вопрос о неизбыточной системе аксиом для булевой алгебры оказался не таким про-
стым, как могло бы показаться на первый взгляд. В ходе его исследования был обнару-
жен ряд интересных фактов, и с некоторыми из них мы встретимся в п. 2.3. Здесь же от-
метим восходящую к работе Э. Хантингтона1 часто используемую систему, содержащую
только первые восемь из приведенных выше аксиом. Однако и указанная совокупность
не является независимой: можно показать, что каждый из законов t o, u ι выводим из
остальных семи. Единственная известная на сегодняшний день (2005 г.) безызбыточная
самодвойственная система аксиом булевой алгебры содержит пары законов поглощения,
дистрибутивности и основных свойств операции дополнения.
   Булева алгебра является примером алгебраической системы (АС), точнее, частно-
го случая АС — алгебры. Произвольная АС A задается парой множеств A и σA , т.е.
A = h A, σA i. Здесь A — носитель, а σA — сигнатура АС. Носитель АС есть некоторое
непустое множество. В зависимости от его мощности различают конечные и бесконечные
АС. Сигнатура σA алгебры с носителем A есть упорядоченная совокупность символов
операций и особых элементов из A. Если результат некоторой операции над элементами
множества всегда лежит в этом множестве, то говорят, что множество устойчиво отно-
сительно данной операции, а операция устойчива на данном множестве. В определении
алгебры требуется, чтобы все операции были устойчивы на её носителе.
   В случае булевой алгебры с носителем B имеем σB = h t, u, 0 , o, ι i, и свойства ука-
занных операций и выделенных элементов носителя описываются указанными выше за-
конами. Если рассматриваются АС заданной сигнатуры, то, стремясь к краткости, для её
обозначения часто используют просто символ носителя. Мы будем так поступать, когда
это не приводит к недоразумениям.

1.1.2     Алгебры множеств
Рассмотрим непустое множество A и произвольную совокупность S(A) его подмно-
жеств, устойчивую относительно операций их объединения ( ∪ ), пересечения ( ∩ ) и до-
полнения ( − ) до A. Множество всех подмножеств (булеан) A будем обозначать P(A).
  1
    Huntington E.V. Sets of independent postulates for algebra of logic. — Amer. Math. Soc., 1904, 5, p.
288-309.

                                                     5