Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 4 стр.

1       Булевы алгебры. Отношения и соответствия
1.1     Булева алгебра как алгебраическая система
1.1.1    Определение булевой алгебры. Алгебраические системы
Определение 1.1. Булевой алгеброй B называется содержащее по крайней мере два
элемента — нуль (o ) и единица — (ι ) множество B с заданными на нём бинарными
операциями объединения (t ), пересечения (u ) и унарной операцией дополнения ( 0 ). При
этом для любых x, y и z из B выполняются следующие законы (аксиомы) булевой
алгебры:
 Com t : x t y = y t x                      Com u : x u y = y u x
   Dtr1 : (x t y) u z = (x u z) t (y u z)     Dtr2 : (x u y) t z = (x t z) u (y t z)
     to : x t o = x                             uι : x u ι = x
        0       0
  Cmp : x t x = ι                              Isl 0 : x u x 0 = o
                           Inv 0 : (x 0 )0 = x
       0   0
      ι : ι = o                                  o0 : o0 = ι
 DeM 1 : (x t y)0 = x 0 u y 0               DeM 2 : (x u y)0 = x 0 t y 0
     tι : x t ι = ι                             uo : x u o = o
  Ass t : x t (y t z) = (x t y) t z          Ass u : x u (y u z) = (x u y) u z
   Id t : x t x = x                            Id u : x u x = x
   Abs1 : x u (x t y) = x                     Abs2 : x t (x u y) = x
Множество B называется носителем булевой алгебры B.

    Таким образом, в булевой алгебре для объединения и пересечения выполняются за-
коны коммутативности, первый и второй дистрибутивные законы, законы ассоциативно-
сти, идемпотентности и поглощения. Отметим, что законы ассоциативности обеспечива-
ют эквивалентность произвольных скобочных структур для t и u. Далее при выводе
соотношений мы не будем специально отмечать применение законов ассоциативности и
коммутативности.
    Законы t o, u ι, t ι и u o описывают свойства особых элементов o и ι (в частности,
o 6= ι ) по отношению к объединению и пересечению, а ι 0 , o 0 — их взаимную дополнитель-
ность. Законы Cmp 0 и Isl 0 постулируют полноту и обособленность дополнения (это ос-
новные законы, описывающие свойства дополнения), а Inv 0 — его инволютивность. Вза-
имные свойства бинарных операций и дополнения описываются законами Де Моргана
(DeM 1 и DeM 2 ).
    Введённые операции называют абстрактными, поскольку ни они сами, ни носитель,
на котором они определены никак не конкретизируются, и никаких иных требований,
кроме удовлетворения вышеприведённым законам, к ним не предъявляется. В приложе-
ниях элементы носителя B (или просто элементы булевой алгебры) интерпретируются
как подмножества некоторых множеств, события, высказывания, сигналы и т.д.
    Следствием очевидной самодвойственности законов булевой алгебры является важ-
ный

Принцип двойственности (для булевой алгебры). Любое утверждение, истинное в
булевой алгебре, остаётся истинным, если в нём произвести замены символов u ↔ t,
ι ↔ o и/или x ↔ x 0 , где x — имя элемента булевой алгебры.

   Последнее замечание важно: если им пренебречь, то, например, из DeM 1 можно
получить неверное равенство x 0 u y 0 = x t y вместо верного (x 0 u y 0 )0 = x t y.
   Нетрудно обнаружить, что приведённая система из 21-ой аксиом избыточна.


                                           4