ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
• вложением или инъективным отображением A в B , если id
A
= ϕϕ
#
. Легко
видеть, что при вложении различные элементы A переходят в различные элементы
B и прообраз ϕ
#
(y) элемента y ∈ Y — не более, чем одноэлементное множество.
Тот факт, что ϕ — вложение A в B записывают A
ϕ
→ B.
Если A ⊂ B, то вложение ϕ(x) = x называется естественным вложением A в
B ;
• наложением или сюръективным отображением A в B , если ϕ
#
ϕ = id
B
. Легко
видеть, что при наложении каждый элемент множества B имеет свой прообраз.
Ясно, что для A = A
1
× . . . × A
n
отображения A
π
i
→ A
i
, определяемые как
(a
1
, . . . , a
i
, . . . , a
k
)
π
i
7→ a
i
, i = 1, n сюръективны. Они называются отображения-
ми проектирования;
• биекцией, биективным, взаимнооднозначным отображением, если
id
A
= ϕϕ
#
∧ ϕ
#
ϕ = id
B
, т.е. оно является одновременно и вложением, и на-
ложением. Множество всех биективных отображений из A в B будем обозначать
Bij (A, B). В случае A = B будем пользоваться обозначением Bij (A).
Отображение ψ : B → A называется обратным отображению ϕ : A → B, если
id
A
= ϕψ ∧ ψϕ = id
B
.
Ясно, что обратное отображение существует только для биекций, и при этом оно един-
ственно. Если ψ — отображение, обратное к ϕ, то используется обозначение ψ = ϕ
−1
, и
ϕ
−1
= ϕ
#
.
Моноид h F un (A), ∗, id
A
i называют моноидом эндоморфизмов множества A и обо-
значают End A. Группу h Bij (A), ∗,
−1
, id
A
i называют группой автоморфизмов мно-
жества A и обозначают Aut A.
Поскольку отображения являются отношениями, к ним можно применять все
теоретико-множественные операции. Однако ясно, что если ϕ, ψ ∈ F un (A, B), то ϕ ∪ ψ
и ϕ ∩ ψ будет от отображениями лишь при ϕ = ψ. Поэтому интересной здесь будет лишь
операция произведения (композиции) отображений.
Нетрудно показать, что произведение двух вложений, наложений или биекций так-
же является, соответственно, вложением, наложением или биекцией. Отметим, что для
конечного множества A инъективность, сюръективность и биективность функций из
F un (A) — равносильные условия.
Следующие две теоремы характеризуют вложение и наложение через свойства их
произведений (композиций).
Теорема 1.16. Отображение f : X → Y — инъекция если и только если для любых
двух отображений g
1
, g
2
из некоторого множества Z в X
g
1
¦ f = g
2
¦ f ⇔ g
1
= g
2
.
Доказательство. (⇒) Пусть f — инъекция из множества X в Y и для любых двух
отображений g
1
, g
2
из Z в X справедливо g
1
¦ f = g
2
¦ f. Но тогда же справедливо
g
1
¦ f ¦ f
#
= g
2
¦ f ¦ f
#
или g
1
¦ id
X
= g
2
¦ id
X
, откуда g
1
= g
2
.
(⇐) Пусть для любых двух отображений g
1
, g
2
из Z в X справедлива равносиль-
ность g
1
¦ f = g
2
¦ f ⇔ g
1
= g
2
, но f не является вложением. Тогда найдутся x
1
и x
2
из X, что x
1
6= x
2
, но f(x
1
) = f(x
2
). Возьмём в качестве Z одноэлементное множество
z
0
и построим два отображения g
1
, g
2
из Z в X такие, что g
1
(z
0
) = x
1
, g
2
(z
0
) = x
2
.
Поскольку f(g
1
(z
0
)) = f (g
2
(z
0
)), а других значений аргумента нет, то g
1
¦ f = g
2
¦ f ,
g
1
= g
2
и x
1
= x
2
. Противоречие.
23
• вложением или инъективным отображением A в B , если idA = ϕϕ# . Легко
видеть, что при вложении различные элементы A переходят в различные элементы
B и прообраз ϕ# (y) элемента y ∈ Y — не более, чем одноэлементное множество.
ϕ
Тот факт, что ϕ — вложение A в B записывают A ,→ B.
Если A ⊂ B, то вложение ϕ(x) = x называется естественным вложением A в
B;
• наложением или сюръективным отображением A в B , если ϕ# ϕ = idB . Легко
видеть, что при наложении каждый элемент множества B имеет свой прообраз.
π
Ясно, что для A = A1 × . . . × An отображения A →i Ai , определяемые как
π
(a1 , . . . , ai , . . . , ak ) 7→i ai , i = 1, n сюръективны. Они называются отображения-
ми проектирования;
• биекцией, биективным, взаимнооднозначным отображением, если
idA = ϕϕ# ∧ ϕ# ϕ = idB , т.е. оно является одновременно и вложением, и на-
ложением. Множество всех биективных отображений из A в B будем обозначать
Bij (A, B). В случае A = B будем пользоваться обозначением Bij (A).
Отображение ψ : B → A называется обратным отображению ϕ : A → B, если
idA = ϕψ ∧ ψϕ = idB .
Ясно, что обратное отображение существует только для биекций, и при этом оно един-
ственно. Если ψ — отображение, обратное к ϕ, то используется обозначение ψ = ϕ−1 , и
ϕ−1 = ϕ# .
Моноид h F un (A), ∗, idA i называют моноидом эндоморфизмов множества A и обо-
значают End A. Группу h Bij (A), ∗, −1 , idA i называют группой автоморфизмов мно-
жества A и обозначают Aut A.
Поскольку отображения являются отношениями, к ним можно применять все
теоретико-множественные операции. Однако ясно, что если ϕ, ψ ∈ F un (A, B), то ϕ ∪ ψ
и ϕ ∩ ψ будет от отображениями лишь при ϕ = ψ. Поэтому интересной здесь будет лишь
операция произведения (композиции) отображений.
Нетрудно показать, что произведение двух вложений, наложений или биекций так-
же является, соответственно, вложением, наложением или биекцией. Отметим, что для
конечного множества A инъективность, сюръективность и биективность функций из
F un (A) — равносильные условия.
Следующие две теоремы характеризуют вложение и наложение через свойства их
произведений (композиций).
Теорема 1.16. Отображение f : X → Y — инъекция если и только если для любых
двух отображений g1 , g2 из некоторого множества Z в X
g1 ¦ f = g2 ¦ f ⇔ g1 = g2 .
Доказательство. (⇒) Пусть f — инъекция из множества X в Y и для любых двух
отображений g1 , g2 из Z в X справедливо g1 ¦ f = g2 ¦ f . Но тогда же справедливо
g1 ¦ f ¦ f # = g2 ¦ f ¦ f # или g1 ¦ idX = g2 ¦ idX , откуда g1 = g2 .
(⇐) Пусть для любых двух отображений g1 , g2 из Z в X справедлива равносиль-
ность g1 ¦ f = g2 ¦ f ⇔ g1 = g2 , но f не является вложением. Тогда найдутся x1 и x2
из X, что x1 6= x2 , но f (x1 ) = f (x2 ). Возьмём в качестве Z одноэлементное множество
z0 и построим два отображения g1 , g2 из Z в X такие, что g1 (z0 ) = x1 , g2 (z0 ) = x2 .
Поскольку f (g1 (z0 )) = f (g2 (z0 )), а других значений аргумента нет, то g1 ¦ f = g2 ¦ f ,
g1 = g2 и x1 = x2 . Противоречие.
23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
