Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
0
=
C
0
+
C
1
+
C
2
+
C
3
+
C
4
+
. . .
+
C
A
1
=
C
1
+
C
2
+
C
3
+
C
4
+
. . .
+
C
Рис. 2: Схема соответствия между A
0
и A
1
(символ + подчёркивает дизъюнктивность
разбиения множеств)
1.4.3 Основные свойства отображений
Пусть ∼ — эквивалентность на A. Тогда существует функция π : A → A/∼, ставящая в
соответствие каждому элементу a ∈ A его класс эквивалентности, т.е. π(a) = [a]
∼
. Такое
отображение называется естественным (каноническим, натуральным). Каноническое
отображение мы будем обозначать nat(A, ∼) или просто nat(∼), если множество A
фиксировано при данном рассмотрении. Понятно, что nat(∼) — наложение.
Пример 10. Для примера 7 имеем:
1. π(a) — мешок, в котором лежит зерно a;
2. π(u) — все слова, имеющие общую первую букву со словом u.
Пусть дано отображение ϕ, определённое на множестве A. Его ядром называется
отношение Ker ϕ ∈ R(A), заданное как
a
1
(Ker ϕ)a
2
def
= ϕ(a
1
) = ϕ(a
2
) .
Очевидно, что ядро ϕ — эквивалентность на своей области определения и подчер-
кивая это, Ker ϕ называют ядерной эквивалентностью. С ядерной эквивалентностью
отображения ϕ из A связано фактор-множество A/Ker ϕ и натуральное отображение
nat(A, Ker ϕ). Заметим, что отображения ϕ : A → B и nat(A, Ker ϕ) имеют общую
ядерную эквивалентность, но отображают A в разные множества: соответственно в B
и в A/Ker ϕ. Также нетрудно видеть, что Ker ϕ = ϕ ¦ ϕ
#
.
Ясно, что если ядро отображения ϕ из A в B есть единичное отношение на A,
то ϕ — вложение A в B : действительно, Ker ϕ = 1
A
означает, что a
1
6= a
2
, то
ϕ(a
1
) 6= ϕ(a
2
).
Далее мы будем пользоваться следующим удобным изображением соответствий. Если
A, B, C, D — некоторые множества и
α : A → B, β : B → C, γ : A → C,
δ : B → D, ε : C → D ,
то указанные отображения на них наглядно задают в виде диаграмм, приведённых на
рис. 3.
Говорят, что эти диаграммы коммутативны, если γ = αβ и αδ = γε соответственно.
Аналогично определяется коммутативность и для более сложных диаграмм. Биективные
отображения будем обозначать на диаграммах двунаправленными стрелками ←→.
Сформулируем теперь основную теорему о разложении отображений.
25
          A0   =   C0   +   C1       +   C2   +    C3       +   C4   +   ...   +   Cu
                                  u                   u
                                                                            
                              u                          u                           u
          A1   =             C1       +   C2     +   C3       +   C4   +    ...   +   C


Рис. 2: Схема соответствия между A0 и A1 (символ + подчёркивает дизъюнктивность
разбиения множеств)

1.4.3   Основные свойства отображений
Пусть ∼ — эквивалентность на A. Тогда существует функция π : A → A/∼, ставящая в
соответствие каждому элементу a ∈ A его класс эквивалентности, т.е. π(a) = [a]∼ . Такое
отображение называется естественным (каноническим, натуральным). Каноническое
отображение мы будем обозначать nat(A, ∼) или просто nat(∼), если множество A
фиксировано при данном рассмотрении. Понятно, что nat(∼) — наложение.
Пример 10. Для примера 7 имеем:

  1. π(a) — мешок, в котором лежит зерно a;

  2. π(u) — все слова, имеющие общую первую букву со словом u.

   Пусть дано отображение ϕ, определённое на множестве A. Его ядром называется
отношение Ker ϕ ∈ R(A), заданное как
                                               def
                             a1 (Ker ϕ)a2 = ϕ(a1 ) = ϕ(a2 ) .

   Очевидно, что ядро ϕ — эквивалентность на своей области определения и подчер-
кивая это, Ker ϕ называют ядерной эквивалентностью. С ядерной эквивалентностью
отображения ϕ из A связано фактор-множество A/Ker ϕ и натуральное отображение
nat(A, Ker ϕ). Заметим, что отображения ϕ : A → B и nat(A, Ker ϕ) имеют общую
ядерную эквивалентность, но отображают A в разные множества: соответственно в B
и в A/Ker ϕ. Также нетрудно видеть, что Ker ϕ = ϕ ¦ ϕ# .
   Ясно, что если ядро отображения ϕ из A в B есть единичное отношение на A,
то ϕ — вложение A в B : действительно, Ker ϕ = 1A означает, что a1 6= a2 , то
ϕ(a1 ) 6= ϕ(a2 ).
   Далее мы будем пользоваться следующим удобным изображением соответствий. Если
A, B, C, D — некоторые множества и

                         α : A → B, β : B → C, γ : A → C,
                                δ : B → D, ε : C → D ,

то указанные отображения на них наглядно задают в виде диаграмм, приведённых на
рис. 3.
   Говорят, что эти диаграммы коммутативны, если γ = αβ и αδ = γε соответственно.
Аналогично определяется коммутативность и для более сложных диаграмм. Биективные
отображения будем обозначать на диаграммах двунаправленными стрелками ←→.
   Сформулируем теперь основную теорему о разложении отображений.



                                                25

Страницы