Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 26 стр.

              A   [
                          α
                                wB                                       A
                                                                                 α
                                                                                     wB
                   [[         
                  γ ][      β
                                                                         γ
                                                                             u        u
                                                                                          δ


                         C                                               C
                                                                                 ε
                                                                                     wD
                      Рис. 3: Диаграммы отображений на множествах

Теорема 1.19 (О разложении отображений). Пусть даны непустые множества A, B
и отображение ϕ : A → B. Тогда для отображения ϕ справедливо разложение
                                             ϕ = π ∗ ϕ0 ∗ µ,                                  (1.3)
где π = nat(Ker ϕ), ϕ 0 — взаимнооднозначное соответствие между A/Ker ϕ и Im ϕ
и µ — вложение Im ϕ в B.
Доказательство. Теорема утверждает, что диаграмма

                                     A
                                                      ϕ
                                                                wB
                                                                 u

                                     π                               µ
                                         u
                                   A/Ker ϕ
                                                         ϕ0
                                                              w Im ϕ
коммутативна.
   Ясно, что Im ϕ есть подмножество B и в качестве µ возьмём естественное вложе-
ние. Из определения Ker ϕ следует, что отображение ϕ 0 : A/Ker ϕ → Im ϕ биективно.
Отсюда следует справедливость разложения (1.3 ), если в качестве π взять nat(Ker ϕ).
При этом все элементы разложения (1.3) определены однозначно.
   Следующая теорема является следствием только что доказанной.
Теорема 1.20 (Основное свойство отображений). Пусть даны непустые множества
A, B и отображение ϕ : A → B. Тогда имеется единственное отображение
ψ : A/Ker ϕ → B являющееся вложением, и такое, что диаграмма

                                    A        [[
                                                     ϕ
                                                                wB
                                                []            
                               nat (Kerϕ)
                                                          ψ
                                                  A/Kerϕ
коммутативна.
Доказательство. Положим в (1.3 ψ = ϕ 0 ∗ µ ). Тогда ψ([a]Kerϕ ) = ϕ(a) — однозначно
определённое вложение Kerϕ в B.
    Из данной теоремы следует, что для любого отображения ϕ : A → B справедливо
каноническое разложение ϕ = π ∗ ψ, где π = nat(A, Kerϕ) — наложение, а ψ — вло-
жение. Такое разложение, очевидно, единственно. Это свойство и называют основным
свойством отображений.
    Основное свойство отображений можно обобщить, если заметить, что для произволь-
ной эквивалентности ∼, содержащийся в Ker ϕ существует единственное отображение
χ : A/ ∼ → B.

                                                     26