Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1.21 (О фактормножествах). Пусть даны непустые множества A, B с отоб-
ражением ϕ : A → B и эквивалентность ∼ на A такая, что ∼ ⊆ Ker ϕ. Тогда име-
ется единственное отображение χ : A/∼ → B такое, что диаграмма
A B
A/∼
ϕ
nat (∼)
χ
коммутативна.
Доказательство. Коммутативность диаграммы обеспечивается при задании χ прави-
лом χ([a]
∼
) = ϕ(a), a ∈ A. Такое задание корректно, поскольку, в силу ∼ ⊆ Kerϕ, всем
элементам x из [a]
∼
соответствует единственное значение χ(x) = ϕ(a). Ядерная экви-
валентность отображения χ — единичное отношение на A/ ∼ лишь при ∼ = Ker ϕ , и
поэтому χ, вообще говоря, не есть вложение. Единственность χ следует из теоремы о
классах эквивалентности.
Из данной теоремы следует, что для любого отображения ϕ : A → B и эквивалентно-
сти ∼ на A такой, что ∼ ⊆ Ker ϕ, справедливо обобщённое разложение ϕ = π ∗ χ, где
π = nat(A, ∼) — наложение. Такое разложение, очевидно, не единственно, поскольку
возможны, вообще говоря, различные измельчения классов эквивалентностей по Kerϕ.
Иногда данную теорему коротко формулируют как утверждение о возможности факто-
ризации любого отображения по эквивалентности, содержащийся в его ядре.
Из основного свойства отображений вытекает
Теорема 1.22 (О дробных эквивалентностях). Пусть дано множество A и экви-
валентности α, β на нём такие, что β ⊆ α. Тогда существуют отображение
ε : A/β → A/α и биекция ψ : (A/β)/(α/β) → A/α такие, что диаграмма
A
A/β A/α
(A/β)/(α/β)
nat β
nat α
ε
nat (α/β)
ψ
коммутативна.
Доказательство. Зададим функцию ε правилом ε([a]
β
) = [a]
α
. Нетрудно видеть, что
такое задание корректно. Далее применим теорему 1.20 к нижней части диаграммы.
Поскольку ε, как легко видеть, накрытие, то ψ([[a]
β
]
α/β
) = ε([a]
β
) = [a]
α
— биекция.
27
Теорема 1.21 (О фактормножествах). Пусть даны непустые множества A, B с отоб-
ражением ϕ : A → B и эквивалентность ∼ на A такая, что ∼ ⊆ Ker ϕ. Тогда име-
ется единственное отображение χ : A/∼ → B такое, что диаграмма

                                  A   [[
                                              ϕ
                                                       wB
                                         []          
                                 nat (∼)           χ
                                            A/ ∼

коммутативна.

Доказательство. Коммутативность диаграммы обеспечивается при задании χ прави-
лом χ([a]∼ ) = ϕ(a), a ∈ A. Такое задание корректно, поскольку, в силу ∼ ⊆ Kerϕ, всем
элементам x из [a]∼ соответствует единственное значение χ(x) = ϕ(a). Ядерная экви-
валентность отображения χ — единичное отношение на A/ ∼ лишь при ∼ = Kerϕ, и
поэтому χ, вообще говоря, не есть вложение. Единственность χ следует из теоремы о
классах эквивалентности.
   Из данной теоремы следует, что для любого отображения ϕ : A → B и эквивалентно-
сти ∼ на A такой, что ∼ ⊆ Ker ϕ, справедливо обобщённое разложение ϕ = π ∗ χ, где
π = nat(A, ∼) — наложение. Такое разложение, очевидно, не единственно, поскольку
возможны, вообще говоря, различные измельчения классов эквивалентностей по Kerϕ.
Иногда данную теорему коротко формулируют как утверждение о возможности факто-
ризации любого отображения по эквивалентности, содержащийся в его ядре.
   Из основного свойства отображений вытекает

Теорема 1.22 (О дробных эквивалентностях). Пусть дано множество A и экви-
валентности α, β на нём такие, что β ⊆ α. Тогда существуют отображение
ε : A/β → A/α и биекция ψ : (A/β)/(α/β) → A/α такие, что диаграмма

                                            A '
                                        [ [     ''nat α
                                      [             '')
                                 nat β

                                  [^[
                            A/β
                                  ''
                                            ε
                                                        w A/α
                                       '           [  ][
                             nat (α/β)  )
                                        '        [
                                               [^ ψ
                                         (A/β)/(α/β)

коммутативна.

Доказательство. Зададим функцию ε правилом ε([a]β ) = [a]α . Нетрудно видеть, что
такое задание корректно. Далее применим теорему 1.20 к нижней части диаграммы.
Поскольку ε, как легко видеть, накрытие, то ψ([[a]β ]α/β ) = ε([a]β ) = [a]α — биекция.




                                              27

Страницы