Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 29 стр.

Доказательство.    1. Вследствие определения, отношение ε приобретает свойство
    симметричности в дополнение к свойствам рефлексивности и транзитивности, на-
    следуемых от ¹.

  2. Если [a] = [a 0 ], [b] = [b 0 ] и [a] ≤ [b], то a 0 ≤ a ≤ b ≤ b 0 , т.е. [a 0 ] ≤ [b 0 ] и отношение
     ≤ на P/ε определено корректно.
        Свойства рефлексивности и транзитивности ≤ наследуются от отношения ≺. Если
        [a] ≤ [b] и [b] ≤ [a], то [a] ≤ [b] ≤ [a], т.е. [a] = [b], так что отношение ≤ оказывается
        и антисимметричным.

Пример 13. Для примера 11 имеем:

  1. [n]ε = { n, −n }          и   ≤    есть отношение делимости на фактор-множестве
     Z/ε = { 0, 1, . . . }.

  2. (a) f εh ⇔ «множество нулей функций f и h совпадают».
        (b) [f ]ε ≤ [h]ε ⇔ «множество нулей любой функции из [f ]ε содержится во мно-
            жестве нулей любой функции из [h]ε ».

   Элементы a и b сравнимы, если либо a v b, либо b v a, и несравнимы в противном
случае. Нетрудно видеть, что отношение сравнимости есть эквивалентность.
   Если a v b, то говорят, что a предшествует b или b следует за a, содержит a.
Множество { x | a v x ∧ x v b } называют интервалом и обозначают [a, b]. Интер-
вал [a, b] непуст, если a v b. Если [a, b] = {a, b}, то говорят, что a непосредственно
предшествует b, и что b непосредственно следует за a .

2.1.2     Частично упорядоченные множества
Пару P = h P, v i, где P — множество, а v — частичный порядок на нём, называют
частично упорядоченным множеством (сокращённо «ч.у. множеством»). P представ-
ляет собой пример нового типа алгебраической системы, а именно модели. АС является
моделью, если в ней отсутствуют операции на носителе, но имеются отношения на нём.
Пример 14.        1. Модели h R, 6 i, h N, | i, h B n , 4 i и h P(M ), ⊆ i суть ч.у. множества.

  2. Пусть A 6= ∅. Модель h E(A), ⊆ i есть ч.у. множество, состоящее из разбиений
     множества A, упорядоченных по измельчению.
     Ясно, что если h P, v i — ч.у. множество и Q ⊆ P , то и h Q, v 0 i — ч.у. множество,
где v 0 — сужение отношения v на Q .
     Для наглядного представления конечных ч.у. множеств, имеющих небольшое число
элементов, используют диаграммы Хассе. На этих диаграммах изображают элементы
ч.у. множеств, причём если элемент a предшествует элементу b, то a рисуют ниже b, и
соединяют их отрезком, если a непосредственно предшествует b.
     На      рис. 4 для примера приведены диаграммы Хассе для ч.у. множеств
h { 0, 1, 2, 3 }, 6 i и h P({ 1, 2, 3 }), ⊆ i.
     Легко видеть, если v — отношение частичного порядка, то и псевдообратное к нему
отношение v# , обозначаемое w, также будет являться частичным порядком. Ч.у. мно-
жества с порядками v и w называют дуальными или двойственными друг к другу.
Всякому выражению x v y в дуальном ч.у. множестве соответствует выражение x w y.
Ясно, что к ч.у. множествам применим следующий принцип двойственности.



                                                  29