Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 28 стр.

2       Порядки и решётки
2.1      Отношение порядка
2.1.1    Предпорядки и порядки
Определение 2.1. Предпорядками называют рефлексивные и транзитивные бинарные
отношения.

Пример 11.      1. Отношение делимости ( | ) на множестве целых чисел Z есть предпо-
    рядок.

    2. Отношение ρ на множестве действительных функций, задаваемое условием

        f ρh ⇔ «множество нулей функции f содержится во множестве нулей функции h».

        является предпорядком.
   Из определения следует, что если ρ — предпорядок то одновременная справедливость
xρy и yρx может быть как при x = y, так и при x 6= y.

Определение 2.2. Рефлексивные, антисимметричные и транзитивные бинарные отно-
шения называют отношениями частичного порядка.

   Отношения частичного порядка будем обозначать v. Антисимметричность v опре-
деляет равенство x = y, при x v y и y v x. Когда x v y и x 6= y, то будем писать
x @ y.
Пример 12.   1. Оба предпорядка из примера 11 не являются частичными порядками
    ввиду отсутствия антисимметричности: (1) из m | n и n | m следует не m = n, а
    лишь |m| = |n|; (2) совпадение множеств нулей функций не означает равенства
    последних.

    2. Важнейшим примером частичного порядка является отношение включения на со-
       вокупности подмножеств некоторого множества. При этом говорят, что такая сово-
       купность упорядочена по включению.

    3. Диагональное отношение на произвольном множестве является частичным поряд-
       ком. Множество с таким порядком называют тривиально упорядоченным.
   Из предпорядка rho всегда можно построить порядок, если отождествить элементы,
x и y, для которых одновременно xρy и yρx.

Теорема 2.1.

    1. Если ¹ — предпорядок на множестве P , то отношение ε, определяемое условием
                                        def
                                     aεb = a ¹ b ∧ b ¹ a

        является эквивалентностью.

    2. Отношение ¹ на фактор-множестве P/ε, определяемое условием
                                                   def
                                     [a]ε ≤ [b]ε = a ¹ b

        является частичным порядком.

                                              28