Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 30 стр.

              3                                        {1, 2, 3}
                                                  AA
                                           A AA
                                         A
              2                 {1, 2}                  {1, 3}               {2, 3}

                                              AAAA                   AAAA
                                         AA A                    AAA
                                 {1}                     {2}                  {3}
              1
                                                                         AA A
                                                                  AA A
              0                                           ∅
                                                               AA

              a)                                          b)


                      Рис. 4: Диаграммы Хассе двух ч.у. множеств

Принцип двойственности (для частично упорядоченных множеств). Любое утвер-
ждение, истинное в ч.у. множестве остаётся истинным в ч.у. множестве, дуальном
к нему.

Определение 2.3. Элемент u ∈ P ч.у. множества h P, v i называют:

  1) максимальным, если u v x ⇒ u = x,

  2) минимальным, если u w x ⇒ u = x,

  3) наибольшим, если x v u,

  4) наименьшим, если x w u

для любых x ∈ P .

   Из определений ясно, что элемент наибольший, если все другие элементы меньше его,
и он максимальный, если нет элементов, больших его (аналогично для наименьшего и
минимального элементов). Легко видеть, что ч.у. множество может иметь не более, чем
по одному наибольшему и наименьшему элементу. Их называют соответственно единицей
и нулём, а также универсальными гранями данного ч.у. множества. Для них мы будем
использовать обозначения ι и o. Ч.у. множество с универсальными гранями называется
ограниченным или, короче, ограниченным порядком.
   Понятно, что наибольший [наименьший] элемент есть одновременно и единственный
максимальный [минимальный]. С другой стороны, максимальных или минимальных эле-
ментов может быть несколько, а может и не быть совсем.
Пример 15.   1. Рассмотрим ч.у. множество h Nf1 , 4 i, где Nf1 — множество единичных
    наборов монотонной булевой функции f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x1 ∨ x2 x3 ∨ x3 x4 x5 .
    Для Nf1 нижние единицы (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0, 0) и (0, 0, 1, 1, 1) функции f бу-
    дут минимальными элементами, 1̃ = (1, 1, 1, 1, 1) — максимальным элементом, а
    наименьший элемент в Nf1 отсутствует.

                                              30