Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2. A ⊆ A
MO
∩ A
OM
.
3. A
M
= A
MOM
.
4. A
O
= A
OMO
.
5. (A ∪ B)
M
= A
M
∩ B
M
.
6. (A ∪ B)
O
= A
O
∩ B
O
.
Доказательство. 1. Это свойство вытекает непосредственно из определения.
2. Так как для любых x ∈ A и y ∈ A
M
справедливо x v y, то A ⊆ A
MO
. Аналогично
проверяется, что A ⊆ A
OM
.
3, 4. В приводимом ниже соотношении первое включение следует из свойства (2), а по-
следнее — из (2) и (1).
A
M
⊆ (A
M
)
OM
= (A
MO
)
M
⊆ A
M
,
откуда вытекает свойство (3). Аналогично для (4).
5, 6. Эти свойства вытекает непосредственно из определения верхнего и нижнего конусов
ч.у. множества.
Определение 2.5. Если в A
M
существует наименьший элемент, то он называется точ-
ной верхней гранью множества A и обозначается sup A. Если в A
O
существует наи-
больший элемент, то он называется точной нижней гранью множества A и обознача-
ется inf A.
В частности, точной верхней [нижней] гранью пустого множества является наимень-
ший [наибольший] элемент ч.у. множества.
Пример 17. 1. Пусть P = { a, b, c, d } и два различных порядка на P задаются сле-
дующими диаграммами Хассе:
d d
c c
a
b
a
b
Для A = { a, b } имеем A
M
= { c, d } в обоих случаях, но в первом случае sup A
отсутствует, а во втором sup A = c.
12
2. Для элемента ˜α ч.у. множества h B
n
, 4 i имеем
˜α
M
= B(˜α,
˜
1), ˜α
O
= B(
˜
0, ˜α); sup ˜α = inf ˜α = ˜α ,
где B(˜α,
˜
β) — подкуб B
n
, натянутый на вершины ˜α и
˜
β.
12
Строго говоря, вторая диаграмма не есть диаграмма Хассе: линии, соединяющие элемент d с эле-
ментами a и b здесь излишни.
32
  2. A ⊆ AMO ∩ AOM .

  3. AM = AMOM .

  4. AO = AOMO .

  5. (A ∪ B)M = AM ∩ B M .

  6. (A ∪ B)O = AO ∩ B O .

Доказательство. 1. Это свойство вытекает непосредственно из определения.

2. Так как для любых x ∈ A и y ∈ AM справедливо x v y, то A ⊆ AMO . Аналогично
     проверяется, что A ⊆ AOM .

3, 4. В приводимом ниже соотношении первое включение следует из свойства (2), а по-
      следнее — из (2) и (1).

                                   AM ⊆ (AM )OM = (AMO )M ⊆ AM ,

      откуда вытекает свойство (3). Аналогично для (4).

5, 6. Эти свойства вытекает непосредственно из определения верхнего и нижнего конусов
      ч.у. множества.

Определение 2.5. Если в AM существует наименьший элемент, то он называется точ-
ной верхней гранью множества A и обозначается sup A. Если в AO существует наи-
больший элемент, то он называется точной нижней гранью множества A и обознача-
ется inf A.

  В частности, точной верхней [нижней] гранью пустого множества является наимень-
ший [наибольший] элемент ч.у. множества.
Пример 17. 1. Пусть P = { a, b, c, d } и два различных порядка на P задаются сле-
    дующими диаграммами Хассе:

                                     d4                              d4

                                    hhh 44
                                         4
                                                                     h h 44
                                                                  hhh c [ 444
                                 hhh  c [[444                   h  [[44
                                           [4                hh
                              hh
                          a                      b        a                     b

      Для A = { a, b } имеем AM = { c, d } в обоих случаях, но в первом случае sup A
      отсутствует, а во втором sup A = c.12

  2. Для элемента α̃ ч.у. множества h B n , 4 i имеем

                     α̃M = B(α̃, 1̃),     α̃O = B(0̃, α̃);     sup α̃ = inf α̃ = α̃ ,

      где B(α̃, β̃) — подкуб B n , натянутый на вершины α̃ и β̃.
 12
   Строго говоря, вторая диаграмма не есть диаграмма Хассе: линии, соединяющие элемент d с эле-
ментами a и b здесь излишни.

                                                     32

Страницы