Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 33 стр.

  Непосредственно из определений вытекает также справедливость следующих соотно-
шений.
  1. Если a v b, то sup { a, b } = a, inf { a, b } = b.

  2. Пусть h P, v i — ч.у. множество и A ⊆ B ⊆ P . Если существуют sup A и sup B
     ( inf A и inf B ), то sup A v sup B (inf A w inf B ).

  3. Если A ⊆ P(M ), то sup A совпадает с пересечением всех надмножеств A, а inf A —
     с объединением всех подмножеств A.
Определение 2.6. Частичный порядок v на множестве P называется линейным, если
любые два элемента из P сравнимы. В этом случае ч.у. множество h P, v i называется
линейно упорядоченным или цепью.
   На рис. 4a ) приведена диаграмма Хассе четырёхэлементной цепи.
   Ч.у. множество может содержать цепи в качестве ч. у. подмножеств. Цепь в ч.у. мно-
жестве называется максимальной, если её объединение с любым не принадлежащим ей
элементом цепью не является. В ч.у. множестве h N, | i для любого M ⊆ N цепью явля-
ется, например, подмножество { 2n | n ∈ M }; при M = N имеем максимальную цепь.

2.1.3   Изотонные отображения и порядковые идеалы
Определение 2.7. Пусть P и P 0 — ч.у. множества. Отображение ϕ : P → P 0
называется порядковым гомоморфизмом или изотонным отображением, если следова-
ние x v y ⇒ ϕ(x) v ϕ(y), и обратно изотонным отображением, если следование
ϕ(x) v ϕ(y) ⇒ x v y выполняются для любых x, y ∈ P .
    Если ϕ изотонно, обратно изотонно и инъективно, то его называют вложением или
                                                                           ϕ
мономорфизмом ч.у. множества P в ч.у. множество P 0 , что обозначают P ,→ P 0 .
Сюръективный мономорфизм ч.у. множеств называют порядковым изоморфизмом. Если
ч.у. множества P и P 0 (порядково) изоморфны, то пишут P ∼  = P 0.
Пример 18.   1. Ч.у. множество a ) изображённое на рис. 4 является изотонным образом
    ч.у. множества b ), если в качестве отображения взять функцию ϕ(x) = |x|. Это
    отображение не инъективно и, следовательно, вложением не является.

  2. Тождественное отображение какого-либо подмножества ч.у. множествва h N, | i во
     множество натуральных чисел с естественным порядком изотонно, но не обратно
     изотонно и, следовательно, вложением также не является.

  3. Если Q — неодноэлементное ч.у. множество с тривиальным порядком, а Q 0 — то
     же самое множество с нетривиальным порядком, то тождественное отображение Q
     на себя является изотонным и взаимнооднозначным, но не обратно изотонным и,
     следовательно, не изоморфизмом между данными ч.у. множествами.

  4. Естественное вложение nZ в Z, где n ∈ N0 , есть их вложение как ч.у. множеств с
     естественным порядком 6.
   Пусть P и P 0 — ч.у. множества. Отображение ϕ : P → P 0 называется антиизотон-
ным, если следование x v y ⇒ ϕ(x) w ϕ(y) выполняется для любых x, y ∈ P . Отоб-
ражение ϕ булеана непустого множества X в себя такое, что для A ⊆ X ϕ(A) = X,
есть антиизотонное отображение.
   Легко видеть, что для ч.у. множеств P и P 0 биекция ϕ : P → P 0 есть порядковый
изоморфизм, если и только если для любых a, b ∈ P имеет место a v b ⇔ ϕ(a) v ϕ(b).

                                             33