Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 34 стр.

Теорема 2.3. Любое ч.у. множество может быть вложено в булеан подходящего мно-
жества, упорядоченный по включению.

Доказательство. Пусть h P, v i — ч.у. множество. Сопоставим каждому x ∈ P его
нижний конус xO . Объединение всех нижних конусов элементов P образует множество
U ∈ P(P ). Понятно, что введённое соответствие ϕ есть биекция между P и U . С другой
стороны, по свойству нижнего конуса, x v y ⇔ xO ⊆ y O и ϕ есть изоморфизм между
h P, v i и h U, ⊆ i. Таким образом, показано h P, v i ,→ h P(P ), ⊆ i.
   К ч.у. множествам можно применять различные операции. Рассмотрим некоторые из
них.

Определение 2.8. Если P = h P, vp i и Q = h Q, vq i — два ч.у. множества с непе-
ресекающимися носителями, то их прямой суммой или дизъюнктивным объединением
P + Q называется множество P ∪ Q с частичным порядком v таким, что x v y когда
либо x vp y, либо x vq y. Ч.у. множество, не являющийся прямой суммой некоторых
двух других ч.у. множеств называется связанным.
   Если P = h P, vp i и Q = h Q, vq i — два ч.у. множества, то их прямым или декар-
товым произведением P × Q называется множество P × Q с частичным порядком v
таким, что (x, y) v (x 0 , y 0 ) только когда x vp x 0 и y vq y 0 . Прямое произведение n
экземпляров ч.у. множеств P обозначают Pn .

   Для того, чтобы нарисовать диаграмму Хассе прямого произведения конечных ч.у.
множеств P и Q рисуют диаграмму Хассе ч.у. множества P , отбрасывая соединения
между элементами P заменяют каждый элемент x ∈ P копией Qx ч.у. множества Q и
соединяют соответствующие элементы множеств Qx и Qy , если элементы x и y были
соединены в диаграмме Хассе ч.у. множества P .
Пример 19. На рис. 5 показан пример прямого произведения двух ч.у. множеств вида
“зигзаг”.
   Из определения ясно, что для ч.у. множеств P и Q справедливо P × Q ∼ = Q × P,
хотя соответствующие диаграммы Хассе обычно выглядят совершенно не похожими друг
на друга.
   Легко убедиться, что для операций + и × над ч.у. множествами (с точностью до
изоморфизма) выполняются законы ассоциативности и коммутативности и первый дис-
трибутивный закон:
                         P × (Q + R) ∼= (P × Q) + (P × R) .
Здесь предполагается, что Q + R существует.
   Если P = h P, vp i и Q = h Q, vq i — два ч.у. множества, то обозначим через QP
множество всех изотонных отображений из P в Q. Введём на QP порядок v, положив
f v g, если f (x) vq g(x) для всех x ∈ P . Таким образом, h QP , v i есть ч.у. множество.
   Можно проверить, что для +, × и введенной выше операции “возведения в степень”
над ч.у. множествами выполняются соотношения

                          RP +Q ∼
                                = RP × RQ ;     (RQ )R ∼
                                                       = RQ×R

(здесь также предполагается, что Q + R существует).

Определение 2.9. Пусть h P, v i — ч.у. множество. Подмножество I элементов P
называется порядковым идеалом, если из x ∈ I и y v x следует y ∈ I. Подмножество F
элементов P называется порядковым фильтром, если из x ∈ F и x v y следует y ∈ F .


                                           34