Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

hdi
ha, ci
d
ha, bi hci
c
hai hbi
a
b
∅
P
J(P )
Рис. 6: Диаграммы Хассе ч.у. множеств P и J(P ). Главные идеалы выделены
2.1.4 Вполне упорядоченные множества и смежные вопросы
В ходе исследований ч.у. множеств были сформулированы следующие утверждения.
Лемма Куратовского-Цорна. Если в ч.у. множестве P любая цепь имеет верхнюю
грань, то каждый элемент из P содержится в некотором максимальном.
Принцип Хаусдорфа. Всякая цепь любого ч.у. множества может быть вложена в мак-
симальную цепь.
Оказалось, что эти утверждения эквивалентны. Более того, они также эквивалентны
фундаментальной теоретико-множественной аксиоме выбора и аксиоме о полном упоря-
дочении.
Аксиома выбора (AC). Для любого непустого множества A существует отображение
f, сопоставляющая каждому непустому подмножеству B множества A элемент из
B : f(B) ∈ B для любого B ∈ P
∗
(A).
Таким образом, аксиома выбора утверждает, что для любого всюду определённого соот-
ветствия можно построить вложенное в него функциональное.
Для формулировки следующей аксиомы нам потребуются новое понятие.
Определение 2.10. Линейный порядок P называется полным, если каждое его непу-
стое подмножество содержит наименьший элемент. В этом случае множество P называ-
ют вполне упорядоченным, а его элементы — трансфинитами.
36
                                                                     hdi



                                                                 ha, ci
                                                                          [[
                                                                           [
                                d   [[                  ha, bi
                                                              [                   hci

                          hhh         [[                      [[           
                                                                          
                       hhh                 c   hai
                                                     [[        hbi

                 hhh                                    [   
                                                          
             a                             b              ∅



                                P                                J(P )


    Рис. 6: Диаграммы Хассе ч.у. множеств P и J(P ). Главные идеалы выделены

2.1.4   Вполне упорядоченные множества и смежные вопросы
В ходе исследований ч.у. множеств были сформулированы следующие утверждения.

Лемма Куратовского-Цорна. Если в ч.у. множестве P любая цепь имеет верхнюю
   грань, то каждый элемент из P содержится в некотором максимальном.

Принцип Хаусдорфа. Всякая цепь любого ч.у. множества может быть вложена в мак-
    симальную цепь.

   Оказалось, что эти утверждения эквивалентны. Более того, они также эквивалентны
фундаментальной теоретико-множественной аксиоме выбора и аксиоме о полном упоря-
дочении.

Аксиома выбора (AC). Для любого непустого множества A существует отображение
    f , сопоставляющая каждому непустому подмножеству B множества A элемент из
    B : f (B) ∈ B для любого B ∈ P ∗ (A).

Таким образом, аксиома выбора утверждает, что для любого всюду определённого соот-
ветствия можно построить вложенное в него функциональное.
   Для формулировки следующей аксиомы нам потребуются новое понятие.

Определение 2.10. Линейный порядок P называется полным, если каждое его непу-
стое подмножество содержит наименьший элемент. В этом случае множество P называ-
ют вполне упорядоченным, а его элементы — трансфинитами.




                                               36

Страницы