Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 37 стр.

   Во вполне упорядоченном множестве каждый элемент, если только он не является
наибольшим, имеет единственный непосредственно следующий и может иметь не более
одного непосредственно предшествующего. Элемент вполне упорядоченного множества
не имеющий предшествующего, если только он не является наименьшим, называется
предельным.
Пример 21.   1. Очевидно, вполне упорядочены все конечные цепи, а так же цепь N с
    естественным порядком.
        Множество целых чисел Z не является вполне упорядоченным относительно есте-
        ственного порядка, поскольку оно не имеет наименьшего элемента. Если же на Z
        задать порядок
                           0 @ 1 @ 2 . . . @ n . . . @ −n . . . @ −2 @ −1 ,
        то получим цепь, в которой не все подмножества будут иметь наименьшие элементы,
        и поэтому это ч.у. множество не приобретёт свойства полной упорядоченности.

  2. Множество
                 1
          {m −   n
                     | m, n ∈ N } = { 0, 12 , 23 , 34 , . . . , 1, 1 + 21 , 1 + 23 , . . . ,
                                                                                  . . . , m, m + 12 , m + 23 , . . . }

        с естественным порядком является вполне упорядоченным. Его предельные элемен-
        ты суть натуральные числа.

Аксиома о полном упорядочении. Любое непустое множество можно вполне упо-
    рядочить.

Пример 22. Множество целых чисел Z можно вполне упорядочить считая, например,
что

                                   0 @ 1 @ −1 @ 2 @ −2 @ 3 . . .       или
                                   1 @ 2 @ . . . @ 0 @ −1 @ −2 @ . . . .

В последнем случае 0 — предельный элемент.
   Покажем, к примеру, как аксиому выбора можно получить из аксиомы о полном
упорядочении. Пусть A — непустое множество; по аксиоме о полном упорядочении его
можно считать вполне упорядоченным. Тогда в качестве f можно взять отображение,
ставящее в соответствие каждому непустому подмножеству A его наименьший элемент.
   Отметим, что известны и другие предложения, эквивалентные приведённым, напри-
мер, о равномощности множеств X и X × X. Доказательство эквивалентности всех упо-
мянутых утверждений можно найти в [13].
   Таким образом, истинными или ложными все эти утверждения могут быть только
одновременно. Что же имеет место “в действительности”? Ответ на поставленный вопрос
зависит от того, какими свойствами мы наделяем понятие «множество». В наиболее об-
щей форме проблема выражена в аксиоме выбора, предложенной Э. Це́рмело в 1904 г.
при разработке аксиоматической теории множеств. Для конечных множеств её справед-
ливость очевидна. Однако при рассмотрении бесконечных совокупностей бесконечных
множеств эта очевидность теряется. Все же попытки свести указываемое утверждение к
фундаментальным принципам теории множеств оказались безуспешными: в аксиоматике
ZF Цермело-Френкеля теории множеств13 не выводимы ни отрицание аксиомы выбора
 13
      См., например, Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966.

                                                          37