Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 39 стр.

   Доказательство этой теоремы имеется, например, в [14].
   Если между множествами A и B существует биекция, назовем их равномощными,
что будем обозначать A = B. В противном случае будем говорить, что они неравномощны
и писать A 6= B. Здесь под X понимается новый объект, связанный с множеством X; он
называется кардинальным числом X или кардиналом.
   Используя теорему 2.4, теорему Кантора-Шрёдера-Бернштейна (1.18) и аксиому о
полном упорядочении, легко доказать справедливость следующего утверждения.

Теорема 2.5 (О сравнении множеств). Для любых множеств A и B имеется лишь
одна из следующих возможностей:

 1) A = B;

 2) A = B 0 для некоторого B 0 ⊆ B, но B 6= A0 для любого A0 ⊆ A;

 3)     B = A0 для некоторого A0 ⊆ A, но A 6= B 0 для любого B 0 ⊆ B.

   Данная теорема лежат в основе учения о мощности множеств. Она позволяет ввести
порядок на множестве кардинальных числе, а именно считать, что A < B и A > B
соответственно в случаях 2) и 3) данной теоремы.
   Важно отметить, что на вполне упорядоченные множества можно обобщить метод
математической индукции.

Утверждение 2.1 (Принцип трансфинитной индукции). Пусть P — вполне упорядо-
ченное множество с каждым элементом α которого связано утверждение Sα , обра-
зующие совокупность S. Тогда, если из справедливости Sβ для всех β ∈ [o, α) следует
справедливость Sα , то верны все утверждения из S.

Доказательство. Пусть среди S имеется неверное утверждение. Тогда непусто мно-
жество E неверных утверждений. Пусть α — наименьший элемент E, который всегда
существует в силу полного порядка на P . Но тогда, поскольку Sβ справедливо для всех
β ∈ [o, α), то справедливо и Sα . Противоречие.

2.2     Алгебраические решётки
2.2.1    Решёточно упорядоченные множества и решётки
Определение 2.11. Ч.у. множество, в котором для любых элементов a и b существуют
inf { a, b } и sup { a, b } называют решёточно упорядоченным.

   Ясно, что в решёточно упорядоченном множестве точные верхние и нижние грани
существуют для любого конечного подмножества элементов.
Пример 23.  1. Модели, изображённые на рис. 4 (см. c. 30) суть решёточно упорядо-
    ченные множества.

  2. Любая цепь решёточно упорядочена. Модели h R, 6 i, h N, | i и h P(A), ⊆ i суть
     решёточно упорядоченные множества. Операциями объединения будут здесь max,
     ∨ (НОК) и ∪, а операциями пересечения — min, ∧ (НОД) и ∩ соответственно.

  3. На рис. 7 представлены два ч.у. множества, причем лишь первое из них является
     решетчато упорядоченным, т.к. во втором не существуют sup { a, b } и inf { c, d }.



                                           39