Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ι ι
a c
d
b
c
d
a
b
o o
Рис. 7: Диаграммы Хассе двух ч.у. множеств с 6-ю элементами
Мы ввели понятие решёточно упорядоченного множества, отталкиваясь от отношения
порядка. Однако возможен другой, эквивалентный данному, подход, опирающийся на
алгебраические операции.
Определение 2.12. (Алгебраической) решёткой L называется непустое множество L
с заданными на нём двумя бинарными операциями: объединения (t ) и пересечения
( u ), подчиняющимися двойственным парам законов коммутативности, ассоциативно-
сти, идемпотентности и поглощения (см. с. 4).
Отметим, что раньше вместо термина «решётка» часто употреблялся термин струк-
тура. Теперь под структурой обычно понимают алгебраическую систему.
Приведённое выше определение утверждает, что алгебраическая решётка есть AC
L = h L, t, u i, двуместные операции t и u которой удовлетворяют указанным законам.
Следствием их двойственности является
Принцип двойственности (для решёток). Любое утверждение, истинное в некото-
рой решётке, остаётся истинным, если в нём произвести замены символов u ↔ t.
В п. 1.1.1 было показано, что, например, законы идемпотентности вытекают из зако-
нов поглощения, и, поэтому, указанная система аксиом избыточна. Использование имен-
но такой системы аксиом традиционно.
Для универсальных граней o и ι решёток выполняются законы t o, u ι (см. опре-
деление 1.1). Ясно, что бесконечная решётка может содержать, а может и не содержать
универсальных граней, а конечная решётка их обязательно содержит.
Пример 24. 1. Очевидно, любая булева алгебра есть алгебраическая решётка. С дру-
гой стороны, любая цепь есть решётка, являясь булевой алгеброй лишь при числе
элементов, равном 2.
2. На рис. 8 изображены диаграммы Хассе всех, за исключением линейного порядка,
решёток с пятью элементами. Последние две решётки называют “пятиугольник” и
“ромб” и обозначают, соответственно, N
5
и M
3
.
3. Ч.у. множество h E(A), ⊆ i всех отношений эквивалентности на множестве A, рас-
смотренное в примере 14.2 есть решётка с универсальными гранями o =M
A
и
40
                        ι   [[                         
                                                          ι[[
                                 [[                          [
                               [[                  
                       [a                        c
                                                            A A d
                     [[[ [[                         A A AA
                                                  AA
                b [                              a[
                    [[  AAAA
                              c   d                             b
                                                     [        
                             A                        [[ 
                       AAA                               
                        o                                 o


           Рис. 7: Диаграммы Хассе двух ч.у. множеств с 6-ю элементами

   Мы ввели понятие решёточно упорядоченного множества, отталкиваясь от отношения
порядка. Однако возможен другой, эквивалентный данному, подход, опирающийся на
алгебраические операции.

Определение 2.12. (Алгебраической) решёткой L называется непустое множество L
с заданными на нём двумя бинарными операциями: объединения (t ) и пересечения
( u ), подчиняющимися двойственным парам законов коммутативности, ассоциативно-
сти, идемпотентности и поглощения (см. с. 4).

   Отметим, что раньше вместо термина «решётка» часто употреблялся термин струк-
тура. Теперь под структурой обычно понимают алгебраическую систему.
   Приведённое выше определение утверждает, что алгебраическая решётка есть AC
L = h L, t, u i, двуместные операции t и u которой удовлетворяют указанным законам.
Следствием их двойственности является

Принцип двойственности (для решёток). Любое утверждение, истинное в некото-
рой решётке, остаётся истинным, если в нём произвести замены символов u ↔ t.

   В п. 1.1.1 было показано, что, например, законы идемпотентности вытекают из зако-
нов поглощения, и, поэтому, указанная система аксиом избыточна. Использование имен-
но такой системы аксиом традиционно.
   Для универсальных граней o и ι решёток выполняются законы t o, u ι (см. опре-
деление 1.1). Ясно, что бесконечная решётка может содержать, а может и не содержать
универсальных граней, а конечная решётка их обязательно содержит.
Пример 24.   1. Очевидно, любая булева алгебра есть алгебраическая решётка. С дру-
    гой стороны, любая цепь есть решётка, являясь булевой алгеброй лишь при числе
    элементов, равном 2.

  2. На рис. 8 изображены диаграммы Хассе всех, за исключением линейного порядка,
     решёток с пятью элементами. Последние две решётки называют “пятиугольник” и
     “ромб” и обозначают, соответственно, N5 и M3 .

  3. Ч.у. множество h E(A), ⊆ i всех отношений эквивалентности на множестве A, рас-
     смотренное в примере 14.2 есть решётка с универсальными гранями o =MA и



                                        40

Страницы