Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 38 стр.

(К. Гёдель, 1939), ни она сама (П. Коэн, 1963). Таким образом, аксиома выбора явля-
ется независимым от ZF утверждением, и добавление к ZF как самой этой аксиомы,
так и её отрицания порождает две равноправные непротиворечивые аксиоматики теории
множеств.14 Поэтому в практической работе можно как принять аксиому выбора, так и
отказаться от неё.
   Исследования показали, что, с одной стороны, имеются “отрицательные” последствия
принятия аксиомы выбора. Выяснилось, что её принятие влечет существование объектов
с парадоксальными, на первый взгляд, свойствами: неизмеримого по Лебегу множества
действительных чисел; такого разбиения шара на конечное число частей, что из них дви-
жениями в пространстве оказывается возможным составить два таких же шара и др. От-
метим, что все рассматриваемые утверждения неконструктивны и являются теоремами
чистого существования.15
   С другой стороны, отклонение аксиомы выбора существенно обедняет содержание
конкретных исследований, не связанных с вопросами оснований математики и теории
множеств. Например, без её привлечения не удается доказать ни наличия базиса у про-
извольного векторного пространства, ни эквивалентности двух определений непрерыв-
ности функции в точке (на языке ε-δ и через пределы последовательностей), ни некото-
рых других важных и привычных свойств различных математических объектов. За при-
нятие аксиомы выбора говорит и следующий, весьма сильный, аргумент. Как отмеча-
лось выше, К. Гёдель показал, что присоединение аксиомы выбора к системе ZF не уве-
личивает опасности впасть в противоречие, т.е. если в полученной системе встретилось
противоречие, то причина его в ZF , а не в аксиоме выбора. Более того, из доказатель-
ства Гёделя вытекает, что всякое свойство натуральных чисел, которое можно доказать
с помощью аксиомы выбора, можно доказать и без неё. В силу этого, по крайней мере в
теории натуральных чисел, аксиому выбора можно рассматривать как вспомогательное
средство, нужное лишь для упрощения доказательств. Указанные соображения обычно
перевешивают, и при конкретных математических исследованиях аксиому выбора (или
эквивалентное ей утверждение, если это более удобно), как правило, принимают.
   Заметим, что в данном пособии мы будем оставаться в рамках т.н. наивной тео-
рии множеств, которая позволяет рассматривать любое множество, точно определяемое
каким-либо свойством. Последовательное применение этого принципа, как известно, мо-
жет привести к противоречиям (парадоксам), однако мы не встретимся с ним в ходе
наших рассмотрений.
                                                                      def
   Для вполне упорядоченного множества определяют множество [o, a) = aO r {a}, ко-
торое называют начальным отрезком a (при этом [o, o) есть пустое множество). Спра-
ведлива

Теорема 2.4 (О сравнении вполне упорядоченных множеств). Пусть A и B — два
вполне упорядоченных множества. Тогда имеется лишь одна из следующих возможно-
стей:

 1)   A ∼
        = B;

 2)   A изоморфно начальному отрезку B ;

 3)   B изоморфно начальному отрезку A.
 14
     Естественно, при условии непротиворечивости самой системы ZF , что, как известно, является от-
крытым вопросом.
  15
     Обычно используемое выражение «чистая теорема существования» является неточным переводом с
немецкого.



                                                38